2025年立体几何核心考点深度解析.doc

立体几何知识点

第1讲空间几何体的构造及其三视图和直观图

1．多面体的构造特性

(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上下底面是全等且平行的多边形．

(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一种公共顶点的三角形．

(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形．

2．旋转体的构造特性

(1)圆锥可以由直角三角形绕其任一直角边旋转得到．

(2)圆台可以由直角梯形绕直角腰或等腰梯形绕上下底中点连线旋转得到，也可由平行于圆锥底面的平面截圆锥得到．

(3)球可以由半圆面或圆面绕直径旋转得到．

3．空间几何体的三视图

空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相似的，三视图包括正视图、侧视图、俯视图．

4．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角為45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直．

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原長度不变，平行于y轴的线段長度在直观图中变為本来的二分之一．

第2讲空间几何体的表面积与体积

1．柱、锥、台和球的侧面积和体积

面积

体积

圆柱

S侧＝2πrh

V＝Sh＝πr2h

圆锥

S侧＝πrl

V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)πr2h

＝eq\f(1,3)πr2eq\r(l2－r2)

圆台

S侧＝π(r1＋r2)l

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h＝eq\f(1,3)π(req\o\al(2,1)＋req\o\al(2,2)＋r1r2)h

直棱柱

S侧＝Ch

V＝Sh

正棱锥

S侧＝eq\f(1,2)Ch′

V＝eq\f(1,3)Sh

正棱台

S侧＝eq\f(1,2)(C＋C′)h′

V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h

球

S球面＝4πR2

V＝eq\f(4,3)πR3

2.几何体的表面积

(1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和．

(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它們的表面积等于侧面积与底面面积之和．

第3讲空间点、直线、平面之间的位置关系

1．平面的基本性质

(1)公理1：假如一条直线上的两点在一种平面内，那么这条直线在此平面内．

(2)公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一种平面．

(3)公理3：假如两个不重叠的平面有一种公共点，那么它們有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理2的三个推论

推论1：通过一条直线和这条直线外一点有且只有一种平面；

推论2：通过两条相交直线有且只有一种平面；

推论3：通过两条平行直线有且只有一种平面．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间两直线的位置关系

eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(共面直线\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行,相交)),异面直线：不一样在任何一种平面内))

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，通过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).

(3)平行公理和等角定理

①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

②等角定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种状况．

(2)平面与平面的位置关系有平行、相交两种状况．

第4讲直线、平面平行的鉴定与性质

1．直线与平面平行的鉴定与性质

鉴定

性质

定义

定理

图形

条件

a∩α＝?

a?α，b?α，a∥b

a∥α

a∥α，a?β，α∩β＝b

結论

a∥α

b∥α

a∩α＝?

a∥b

2.面面平行的鉴定与性质

鉴定

性质

定义

定理

图形

条件

α∩β＝?

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α

α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b

α∥β，a?β

結论

α∥β

α∥β

a∥b

a∥α

1．平行关系的转化方向如图所示：

2．在处理线面、面面平行的鉴定期，一般遵照从“低维”到“高维”的转化，既从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理時，另一方面序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由題目的详细条件而定，决不可过于“模式化”．

第5讲直线、平面垂直的鉴定与性质

1．直线与平面垂直

(1)定义：若直线l与平面α