（安徽专用）中考数学二轮复习考点分类训练专题15 几何证明（二）（解析版）.docVIP

——几何证明（二）（安徽专用）

1．（2023·安徽合肥·校考一模）已知：正方形ABCD中，E为BC边中点，F为AB边上一点，AE、CF交于点P，连接AC．

(1)如图1，若F为AB边中点，求证：；

(2)如图2，若CE=PE．

①求证：AP=BF；

②求AFBF

【答案】(1)见解析

(2)①见解析；②

【分析】（1）根据正方形得到AB=BC,∠B=90°,∠BAC=∠ACB=45°，证明△ABE≌△CBF，推出∠BAE=

（2）①连接BP并延长，交AD于点G，得到∠BPC=90°，推出∠ABG=∠PCE，由此证明△ABG≌△BCFASA，得到AG=BF，再根据等边对等角证得AP=AG，即可得到结论AP=BF；②设AB=BC=a，BF=x，则AF=AB?BF=a?x，AP=BF=x，延长CF，交DA的延长线于点H，根据正方形的性质得到AD∥BC，证得∠H=∠PCE，从而证得∠H=∠APH，推出AH=AP=x，证明△AFH∽△BFC，得到AFBF=AHBC，代入数值得到x2+ax?

【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC,∠

∵E为BC边中点，F为AB边中点，

∴BF=BE，

∴△ABE

∴∠BAE=

∴；

（2）①连接BP并延长，交AD于点G，如图

∵E为BC边中点，CE=PE，

∴BE=CE=PE,∠CPE=∠PCE，∠BPE=

∵∠CPE+

∴∠CPE+

即∠BPC=90°

∵∠ABG+

∴∠ABG=

∴△ABG

∴AG=BF，

正方形ABCD中，AD∥

∴∠AGP=

∵∠APG=

∴∠AGP=

∴AP=AG，

∴AP=BF；

②设AB=BC=a，BF=x，则AF=AB?BF=a?x，AP=BF=x，

延长CF，交DA的延长线于点H，如图，

正方形ABCD中，AD∥

∴∠H=

∵∠APH=

∴∠H=

∴AH=AP=x，

∵AD∥

∴△AFH

∴AF

∴BC·AF=AH·BF，即aa?x

∴x2

∴x=?a±

∵x0,a0，

∴x=?1+

∴BF=x=?1+52

∴AFBF

【点睛】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确理解各判定和性质及正确引出辅助线是解题的关键．

2．（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图（1），已知正方形ABCD，对角线AC、BD交于点O，点E是线段BD上的点，以AE为边作等边△AEF（点F在点E上方），连接CE、CF、DF．

(1)求∠ACF

(2)如图（2），当EF∥CD时，设AD分别交CF、EF于点G、H．

①求证：△ADF

②求EFFG

【答案】(1)30°

(2)①见解析；②6

【分析】（1）根据等边三角形和正方形的性质可得AE=CE=EF,∠AEF=60°，从而得到∠ACF=∠EAC+∠EFC，延长CE交于点G，再由三角形的外角性质，即可求解；

（2）①要证△ADF≌△CDE，即先证明△ADE≌△ADF，再结合轴对称的性质即可得证；②要求EFFG的值，可先通过证明△DFG∽△DAF，将所求线段比例转化为ADDF，再运用带入参数字母法，结合图形的性质分别求出

【详解】（1）解：∵△AEF是等边三角形，BD垂直平分AC，

∴AE=CE=EF,

∴∠

∴∠

如图，延长CE交于点G，

∴∠EAC=

∴∠

（2）解：①证明：∵EF∥CD，∠ADC=90°

∴AD⊥

又∵△AEF是等边三角形，∴AD平分∠EAF，即∠DAE=

在△ADE和△ADF中，AE=AF∠

∴△ADE

在正方形ABCD中，AD=CD,∠

∵DE=DE，

∴△ADE

∴△ADF

②∵△ADF

∴∠ADF=

∵EF⊥

∴△DHF

∵∠CAD=45°

∴∠ADF=

∴DF∥

∴∠DFG=

又∵∠DAF=30°

∴∠DFG=

又∵∠GDF=

∴△DFG

∴FG

设DF=a，则DH=FH=2

∵∠DAF=30°

∴AF=2FH=2

∴AH=6

∴AD=AH+DH=6

∴EFFG

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质等知识，本题难度在于在第（3）问两条线段位置关系不明显，在此类两条线段问题中，一般运用转化的思想将比值问题转化为易求的另两条线段的比例问题．通过代入参数字母方法，即可求解．

3．（2023·安徽合肥·统考一模）已知E是四边形ABCD的边CD上一点，AE的垂直平分线分别交AD，BC于点M，N，交对角线BD于点F，AE与MN交于点O，连接EM，EF．

(1)如图1，若AE平分∠DAF，求证：四边形AFEM是菱形．

(2)如图2，四边形ABCD是矩形，且AD=10，AB=6，若EF∥AD，求EM的长．

【答案】(1)见解析

(2)50

【分析】（1）由AE平分∠DAF，MN是AE的垂直平分线，