高二上数学练习题及答案 (27).pdf

高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝lnx﹣ax（a∈R）的最大值为﹣1．

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

1

（Ⅱ）若方程f（x）＝2﹣x−有两个实根x，x，且x＜x，求证：x+x＞1．

2121212

1

＞

（Ⅰ）解：f（x）的定义域为（0，+∞），′()=−(0)，

1

＞

当a≤0时，′()=−0，即函f（x）在（0，+∞）上单调递增，无最大值．

11

当a＞0时，令′()=−=0，可得=，

11−11−

＜＜＞＞＜

当0时，′()=0；当时，′()=0，

11

故函数f（x）在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减．

1

所以()=()=−−1，

所以﹣lna﹣1＝﹣1，∴a＝1．

故f（x）＝lnx﹣x．

11

＞

（Ⅱ）证明：设()=()−(2−−)=+−2(0)，

22

1

因为x，x是函数()=+−2的两个零点，

122

11

所以+−2=0，+−2=0．

1222

12

11

两式相减，可得1=−，

22

221

−−

即1=12，故=12．

21221

221

2

1−11−2

那么=2，=1．

121221