高二上数学练习题及答案 (36).pdf

高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝ex﹣ax﹣1+sinx．

（1）当a＝2时，证明：f（x）≥0；

（2）当a≥1时，讨论函数f（x）的零点个数．

解：（1）证明：当a＝2时，f（x）＝e﹣2x﹣1+sinx，x

所以f′（x）＝e﹣2+cosx，x

所以f″（x）＝e﹣sinx，x

当x∈（﹣∞，0）时，e≤1，所以：f′（x）≤﹣1+cosx≤0，x

所以f（x）在（﹣∞，0]单调递减，所以f（x）≥f（0）＝0．

当x∈（0，+∞）时，e＞1，所以f″（x）＞1﹣sinx≥0，x

所以f′（x）在（0，+∞）单调递增，所以f′（x）＞f′（0）＝0．

所以f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（x）＞f（0）＝0．

综上所述：f（x）≥0当且仅当x＝0时，等号成立．

（2）由于f（0）＝e﹣0﹣1+sin0＝0，所以0为函数f（x）的一个零点．0

f′（x）＝ex﹣a+cosx，f″（x）＝e﹣sinx，x

（i）当a＝2时，由（1）知函数f（x）仅有一个零点，

（ii）当a＞2时，

①当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜e0﹣a+cos0＜0．

f（x）在（﹣∞，0）单调递减，f（x）＞f（0）＝0．

所以当x∈（﹣∞，0）时，函数f（x）无零点．

②当x∈（0，+∞）时，f″（x）＞e0﹣sinx≥0，

所以f′（x）在（0，+∞）单调递增．

lna+2

由于f′（0）＝2﹣a＜0，f′（ln（a+2））＝e（）﹣a+cos[ln（a+2）]＝2+cos[ln（a+2）]

＞0．

所以在（0，+∞）上存在唯一的x∈（0，ln（a+2）），使得f′（x）＝0．

00

当x∈（0，x0）时，f′（x）＜0，f（x）在（0，x）单调递减．0

有f（x）＜f（x）＜f（0）＝0，所以f（x）在（0，x）无零点．

00

当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（x，+∞）单调递增．0

又f（lna）＝a﹣3alna﹣1+sin（lna）＞a﹣3alna﹣2，3333

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设p（a）＝a﹣3alna﹣2（a＞2），3

所以p′（a）＝3（a﹣1﹣lna），2

1

＞

″()=3(2−)0，

所以p′（a）在（2，+∞）单调递增，有p′（a）＞p′（2）＞0．

3

所以p（a）在（2，+∞）单调递增，有p（a）＞p（2）＞0，即f（lna）＞0．

因此函数f（x）在（x0，+∞）有一个零点．

所以当a＞2时，f（x）有两个零点．

（iii）当1≤a＜2时，

①当x∈（0，+∞）时，f″（x）＞e0﹣sinx≥0，所以f′（x）在（0，+∞）单调递增．

f′（x）＞f′（0）＝2﹣a＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，f（x）＞f（0）＝0．

所以f（x）在（0，+∞）上无零点．

②当x∈（﹣∞，﹣π）时，﹣ax≥π．有f（x）≥eπ+π+sinx﹣1＞0．

所以f（x）在（﹣∞，﹣π]无零点．

③当x∈（﹣π，0）时，sinx＜0，f″（x）＞0，f′（x）在（﹣π，0）单调递增，

﹣π

又f′（0）＝2﹣a＞0，f′（﹣π）＝e﹣1﹣a＜0．

所以存在唯一的x0∈（﹣π，0），使得f′（x）＝0．0

当x∈（﹣π，x）时，f′（x）＜0，函数f（x）在（﹣π，x）单调递减．

0