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高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝ax+lnx（a∈R），g（x）＝x2﹣2x+2．

（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程；

1

（2）当=−时，求函数f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；

2

（3）若对任意的x∈[﹣1，2]，均存在x∈（0，+∞），使得g（x）＜f（x），求a的取

1212

值范围．

11+

解：（1）当a＝1时，f（x）＝x+lnx，f（x）＝1+=，

∴f（1）＝2，

又f（1）＝1，

∴曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为：y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0；

11

（2）当=−时，f（x）=−x+lnx，

22

112−

f（x）=−+=，

22

∴当x∈[1，2]时，f（x）＞0，当x∈[2，e]时，f（x）＜0，

∴f（x）在区间[1，2]上单调递增，在区间[2，e]上单调递减，

∴f（x）max＝f（2）＝ln2﹣1；

13

又f（1）=−，f（e）＝1−，f（1）﹣f（e）=−＜0，

2222

1

∴f（x）min＝f（1）=−2．

（3）若对任意的x∈[﹣1，2]，均存在x∈（0，+∞），使得g（x）＜f（x），问题可转

1212

化为g（x）＜f（x）．

maxmax

∵g（x）＝x﹣2x+2＝（x﹣1）22+1（﹣1≤x≤2），其对称轴方程为x＝1，

∴当x＝﹣1时，g（x）取得最大值g（﹣1）＝5．

又f（x）＝ax+lnx（a∈R），

1

∴f′（x）＝a+，

当a≥0时，f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，f（x）无最大值；

1

当a＜0时，令f′（x）＝0，得x=−，

11

所以f（x）在（0，−）上单调递增，在（−，+∞）单调递减，

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11

故f（x）max＝f（−）＝﹣1+ln（−）＝﹣1﹣ln（﹣a），

所以5＜﹣1﹣ln（﹣a），

﹣6

解得：﹣e＜a＜0．

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