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高二数学练习题

22

1．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F（﹣c，0），F（c，0），动

12

22

点P（x，y）在椭圆C上运动，当△PFF面积最大时，S=c2．

12△

12

（Ⅰ）求椭圆C的离心率；

→→

（Ⅱ）若c＝1，延长PF1，PF分别交椭圆C于A，B（A，B不重合）两点，设2=λ，

11

→→

=，求λ+的最小值．

22

解：（Ⅰ）由题意当△PFF面积最大时，P为椭圆短轴的端点，

12

1

所以S=•|FF|•b＝bc＝c2，

△212

12

所以可得b＝c，

222222

所以b＝c＝a﹣c，可得a＝2c，则a=2c，

√

√2

所以椭圆的离心率e===；

√22

（Ⅱ）由题意得，点P不在x轴，

不妨设点P（m，n）（n≠0），A（x，y），（x，y），

1122

F（﹣1，0），F（1，0），

12

→→

由=λ，得（﹣1﹣x1，﹣y）＝λ（m+1，n），1

11

x＝﹣λm﹣λ﹣1，y＝﹣λn，11

2

又由（Ⅰ）及c＝1知椭圆C的方程为：+y2＝1

2

(++1)2

+（λn）2＝1，①

2

2

又+n2＝1，②

2

联立①②可得（3+2m）λ2+（2m+2）λ﹣1，

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即[（3+2m）λ﹣1]•（1+λ）＝0，

由题意知λ＞0，λ+1≠0，

1

所以λ=，

3+2

1

同理可得=（＞0），

3−2

116

所以λ+=+=，

3+23−29−42