高二数学练习题及答案 (25).pdf

高二数学练习题

1

1．已知函数f（x）=x32+a．

﹣x

3

（Ⅰ）若a＝2x，求曲线y＝f（x）的斜率为2的切线方程；

（Ⅱ）若F（x）＝f|（x）|在[﹣3，3]上的最大值不超过20，求a的取值范围．

11

3232

解：（Ⅰ）由f（x）=﹣xx+a（a＝2x），得f（x）=−+2，

33

∴f′（x）＝x﹣2x+2，2

令f′（x）＝2，得x﹣2x＝0，解得x＝0或x＝2，2

8

又f（0）＝0，f（2）=，

3

8

∴曲线y＝f（x）的斜率为2的切线方程是y＝2x或y−=2（x﹣2），

3

即y＝2x或6x﹣3y﹣4＝0．

1

32

（Ⅱ）由题意得F（x）＝f|（x）|=|−+|，

3

1

322

令g（x）=−，x∈[﹣3，3]，得g′（x）＝x﹣2x，

3

令g′（x）＝0，得x＝0或x＝2．

x，g′（x），g（x）在[﹣3，3]上的变化情况如下表：

x﹣3（﹣3，0）0（0，2）2（2，3）3

g′（x）+0﹣0+

g（x）﹣18↑0↓−4↑0

3

∴函数g（x）的最小值为﹣18，最大值为0．

1

32

F（x）＝f|（x）|＝|−+|＝|g（x）+a|，x∈[﹣3，3]，

3

由上表知，g（x）∈[﹣18，0]．

∵F（x）＝f|（x）|在[﹣3，3]上的最大值不超过20，

即|g（x）+a|≤20．

a≤0时，|g（x）+a|＝﹣a﹣g（x）≤20，

即a≥[﹣g（x）﹣20]＝﹣2，

max

∴﹣2≤a≤0；

0＜a＜18时，|g（x）+a|＜18≤20恒成立；

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当a≥18时，|g（x）+a|＝a+g（x）≤20，

即a≤[20﹣g（x）]min＝20，

∴18≤a≤20，

则实数a的取值范围为[﹣2，20]．

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