高二数学练习题及答案 (31).pdf

高二数学练习题

222

1．已知抛物线C：y＝2px的焦点与圆x+y﹣2x﹣3＝0的圆心重合．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）y＝2与抛物线C的交点为A，点M，N为C上两点，且k+k＝﹣1（k，k

AMANAMAN

分别为直线AM，AN的斜率），过点A作AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使

得|DQ|为定值．

2222

+y+y

解：（Ⅰ）x﹣2x﹣3＝0即（x﹣1）＝4，可得圆心的坐标为（1，0），

即有抛物线的焦点坐标为（1，0），即=1，可得p＝2，

2

则抛物线的方程为y＝4x；2

（Ⅱ）证明：由题意可得A（1，2），当直线MN的斜率存在时，由题意可得MN的斜率

不为0，

设直线MN的方程为y＝kx+b（k≠0），M（x，y），N（x，y），

1122

=+

222

联立{，消去y可得kx+（2kb﹣4）x+b＝0，

2

=4

△＝16﹣16kb＝0，故kb＜1，

4−22

则x+x=，xx=，

122122

2

消去x可得ky﹣4y+4b＝0，△＝16﹣16kb＞0，故kb＜1，

44

则y+y=，yy=，

1212

−2−2

因为k+k＝﹣1，所以1+2=−1，

AMAN

−1−1

12

整理可得（y﹣2）（x﹣1）+（y﹣2）（x﹣1）＝﹣（x﹣1）（x﹣1），

122112

即x（kx+b）+x（kx+b）﹣2（x+x）﹣（y+y）+4＝﹣xx+（x+x）﹣1，

211212121212

即（2k+1）xx+（b﹣3）（x+x）﹣（y+y）+5＝0，

121212

24−24

即（2k+1）•+（b﹣3）•−+5＝0，

22

整理可得5k2+6kb+b+4b﹣4k﹣12＝0，即（k+b﹣2）（5k+b+6）＝0，2

由题意可得MN不过点A，故k+b﹣2≠0，所以5k+b+6＝0，

则直线MN的方程为y＝k（x﹣5）﹣6，

所以直线MN过定点P（5，﹣6）；

当直线MN的斜率不存在，设方程为x＝t，

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