高二数学练习题及答案 (44).pdf

高二数学练习题

x1

1．已知函数f（x）＝e﹣，g（x）＝lnx．

（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程为y＝kx+b，且存在实数t使得y＝k（x+t）

+b与曲线y＝g（x）相切，求t的值．

（2）设函数φ（x）＝af（x+1）﹣g（x+1）+g（a）﹣1．

（ⅰ）若φ（x）＞0恒成立，求a的取值范围；

（ⅱ）若函数φ（x）仅有两个不同的零点，求a的取值范围．

x1

﹣

解：（1）由题意知，f′（x）＝e，f′（1）＝1，f（1）＝1，因而曲线y＝f（x）在x

＝1处的切线方程为y＝x，

故k＝1，b＝0，则y＝k（x+t）+b＝x+t，

11

曲线y＝g（x）在点（x，y）处的切线方程为−=(−)，即=+−1，

00000

00

1

，

令=1−1=，解得x0＝1，t＝﹣1．

0

0

（2）（i）由已知得φ（x）＝ae﹣ln（x+1）+lna﹣1，x∈（﹣1，+∞），a＞0，x

φ（x）＞0恒成立，即aex+ln（aex）﹣ln（x+1）﹣（x+1）＞0恒成立，即aex+ln（aex）

＞ln（x+1）+（x+1）恒成立，

1

，＞

设ℎ()=+ℎ′()=1+0，故h（t）单调递增，

+1

x＞

因而ae＞x+1（x＞﹣1）恒成立，即＞(−1)恒成立，

+1

，

令()=(≥−1)′()=−，

当x∈（﹣1，0）时，s′（x）＞0，s（x）单增，当x∈（0，+∞）时，s′（x）＜0，s

（x）单减，

∴s（x）≤s（0）＝1，从而a＞1．

（ii）函数φ（x）仅有两个不同的零点，即φ（x）＝0有两个不同的解，即aex+ln（aex）

＝ln（x+1）+（x+1）有两个不同的解，

+1

x＞

根据（i）可知即ae＝x+1（x＞﹣1）有两个不同的解，即=(−1)有两个不同

的解，

因为当x∈（﹣1，0）时，s（x）单增，当x∈（0，+∞）时，s（x）单减，s（﹣1）＝0，

当x＞0时，s（x）＞0，

第1页共2页

∴0＜a＜1．

第2页共2页