西北工业大学弹性力学课件.ppt

附录

弹性力学数学根底;附录1张量根底;张量——简化缩写记号表达物理量的集合

显著优点——根本方程以及其数学推导简洁

张量的特征

——整体与描述坐标系无关

分量需要通过适当的坐标系定义

笛卡儿〔Descartes〕张量定义

一般张量——曲线坐标系定义;三维Descartes坐标系中，一个含有3个与坐标相关独立变量集合，通常可以用一个下标表示。;求和定约

张量表达式的某一项内的一个下标出现两次，那么对此下标从1到3求和。;偏导数的下标记法

缩写张量对坐标xi偏导数的表达式

逗号约定逗号后面紧跟一个下标i时，表示某物理量对xi求偏导数。;张量的偏导数集合仍然是张量

证明：ui，j如果作坐标变换;特殊的张量符号;置换符号eijk;二阶对称张量

反对称张量;附录2复变函数数学根底;复变函数定义;函数f〔z〕在某区域Σ上的每一点导数存在，称为区域Σ上的解析函数。

解析函数w=u〔x，y〕+iv〔x，y〕

柯西－黎曼条件;保角变换;柯西积分公式;如f〔t〕在区域S外，包括无穷远点处处解析，C为S内的任一闭曲线，它的内部完全属于S，z为包含在C内的任一点，;附录3变分法概要;泛函和泛函的极值;泛函极值的必要条件—欧拉方程;欧拉方程仅仅是泛函极值存在的必要条件

确定泛函J为极大值或者极小值，还需要判断其二阶变分d2J大于0还是小于0。;自然边界条件;泛函变分的根本运算法那么;第二章应力状态;目录

§2.1体力和面力

§2.2应力与应力张量

§2.3二维应力状态与平衡微分方程

§2.4应力状态的描述

§2.5边界条件

§2.6主应力与应力主方向

§2.7应力球张量和球应力偏张量;§2.1体力和面力;§2.2应力与应力张量;应力状态——一点所有截面应力矢量的集合。

显然，弹性体内某确定点各个截面的应力

——应力状态必然存在一定的关系。

应力状态分析——讨论一点截面方位改变引起的应力变化趋势。

应力状态对于结构强度是十分重要的。

准确描述应力状态，合理的应力参数。

为了探讨各个截面应力的变化趋势，确定可以描述应力状态的参数，通常将应力矢量分解。;应力矢量沿坐标分解

——没有工程意义

正应力和切应力

正应力sn与切应??tn 与结构强度关系密切

根据截面方位不能完全确定切应力

应力分量——应力张量

应力张量可以描述一点应力状态;应力张量;§2.3平衡微分方程;平衡微分方程;§2.4应力状态;公式说明：应力张量，可以确定任意方位微分面的应力矢量。

当然可以确定正应力sn与切应力tn。;应力不仅随位置改变而变化，而且随截面方位改变而变化。

同一点由于截面的法线方向不同，截面上的应力也不同。

讨论应力分量在坐标变换时的变化规律。;任意斜截面的应力

转轴公式

——应力分量满足张量变化规那么

应力张量为二阶对称张量

转轴公式说明：新坐标系下的六个应力分量可通过原坐标系的应力分量确定。

应力张量可以确定一点的应力状态。

坐标轴转轴后，应力分量发生改变。但是作为整体所描述的应力状态没有变化。;平面应力状态转轴公式

——弹性力学以坐标系定义应力分量；

材料力学以变形效应定义应力分量。

正应力二者定义没有差异

而切应力定义方向不同;§2.5边界条件;§2.5边界条件2;§2.5边界条件3;§2.5边界条件4;§2.6主应力与应力主方向;主应力和主平面

主应力分析;其中：;应力状态特征方程

——确定弹性体内部任意一点主应力和应力主轴方向。

主应力和应力主轴方向取决于载荷、形状和边界条件等，与坐标轴的选取无关。

因此，特征方程的根是确定的，即I1、I2、I3的值是不随坐标轴的改变而变化的。

I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。;特征方程有三个实数根

s1，s2，s3分别表示这三个根，代表某点三个主应力。

对于应力主方向，将s1，s2，s3分别代入;主应力和应力主方向取决于结构外力和约束条件，与坐标系无关。

因此特征方程的三个根是确定的。;主应力正交性证明：;设s1，s2，s3的方向分别为〔l1，m1，n1〕，〔l2，m2，n2〕和〔l3，m3，n3〕，那么;如果s1≠s2≠s3;如果s1=s2=s3;主应力是一点所有微分面上最大或最小的正应力。

主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；

最大切应力确实定。

讨论任意截面正应力和切应力的变化趋势——应力圆。

最大切应力以及方位确实定。;正应力和切应力分析123

应力圆

最大切应力方位;§2.7应力球张量和应力偏张量;八面体单元;第三章应变状态;目录

§3.1变形与应变概念

§3.2主应变与主应变方向