（安徽专用）中考数学数学二轮复习训练 专题6 解直角三角形及其应用（解析版）.docVIP

专题6解直角三角形及其应用解答题30题专项提分计划

1．（2022·安徽安庆·安庆市第四中学校考二模）如图，某无人机兴趣小组在操场上开展活动，此时无人机在离地面30米的D处，无人机测得操控者A的俯角为30°，测得教学楼BC顶端点C处的俯角为45°．又经过人工测量测得操控者A和教学楼BC之间的距离为57米．求教学楼BC的高度．（点A，B，C，D都在同一平面上，结果保留根号）

【答案】教学楼BC的高度为米

【分析】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，由题意得AB=57米，DE=30米，∠DAE=30°，∠DCF=45°，再由锐角三角函数定义求出AE的长，然后求出米，进而可得教学楼BC的高度．

【详解】过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，如图所示：

则四边形BCFE是矩形，

由题意得：AB＝57米，DE＝30米，∠DAE＝30°，∠DCF＝45°，

在Rt△ADE中，∠AED＝90°，

∴tan∠DAE＝，

∴AE＝＝＝（米），

∴BE＝AB﹣AE＝米，

∵四边形BCFE是矩形，

∴CF＝BE＝米，

在Rt△DCF中，∠DFC＝90°，

∴∠CDF＝∠DCF＝45°，

∴DF＝CF＝米，

∴BC＝EF＝30﹣57+30＝米，

答：教学楼BC的高度为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、矩形的判定与性质等知识；掌握仰角俯角定义是解题的关键．

2．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，坡的坡度为：，坡面长米，，现计划在斜坡中点处挖去部分坡体用阴影表示修建一个平行于水平线的平台和一条新的斜坡请将下面两小题的结果都精确到米，参考数据：．

(1)若修建的斜坡的坡角即恰为，则此时平台的长为______米；

(2)坡前有一建筑物，小明在点测得建筑物顶部的仰角为，在坡底点测得建筑物顶部的仰角为，点、、、、在同一平面内，点、、在同一条水平直线上，问建筑物高为多少米？

【答案】(1)7.0

(2)建筑物高约为米

【分析】（1）先利用勾股定理解直角求出，，再证，推出，代入数值即可求解；

（2）过点作，垂足为，利用矩形的性质求出，，，解可得，进而得出，再解，列等式求出，则．

【详解】（1）解：由题意知，，，，

∴设，则，

由勾股定理得：，即，

解得，

∴，．

∵，，

∴，

∴．

由题意，，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∴，，，

∴米；

则平台的长为，

（2）解：过点作，垂足为．

在矩形中，

，，

∴．

在矩形中，

，，

在中，，

∴，

，

，

解得：，

（米），

即建筑物高约为米．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，涉及勾股定理、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、特殊角的三角函数值等知识点，解题的关键是构造直角三角形，利用特殊角的三角函数值求解．

3．（2022·安徽合肥·统考二模）周末爬紫蓬山，是肥西县居民周末娱乐休闲、锻炼身体的方式之一．某个周末小华同学从紫蓬山东坡沿坡角为37°的山坡爬了150米，紧接着又爬了坡角为45°的山坡140米，最后到达山顶，请你计算紫蓬山的高度．（结果精确到个位，参考数据：，，，，．）

【答案】紫蓬山的高度约为188米

【分析】过点作，交于点，作于点，过点作于点，交于点，先根据矩形的判定与性质可得，再在和中，解直角三角形可得的长，然后根据即可得．

【详解】解：如图，过点作，交于点，作于点，过点作于点，交于点，

则，

四边形是矩形，

，

米，

（米），

米，

米，

（米），

则紫蓬山的高度为（米），

答：紫蓬山的高度约为188米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线，构造直角三角形是解题关键．

4．（2022·安徽亳州·统考二模）为测量学校旗杆的高度，李昊同学分别从教学楼的二层B处和三层E处测得对旗杆AH顶的仰角分别是45°和25°，同时，李昊同学向学校老师打听到该教学楼每层高3米，求旗杆AH的高度．（参考数据；sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，结果精确到0.1米）

【答案】8.7米

【分析】过点B作BN⊥AH于N，过点E作EM⊥AH于M，则四边形EBNM是矩形，由∠AEM＝25°，可得0.47，根据BN＝EM，建立方程，解方程即可求解．

【详解】过点B作BN⊥AH于N，过点E作EM⊥AH于M，则四边形EBNM是矩形，

∵BN＝EM．

由题意可得∠ABN＝45°，∠AEM＝25°．

设AH＝x米，则AN＝（x﹣3）米，AM＝（x﹣6）米，

在Rt△ABN中，∠ABN＝45°，

故BN＝AN＝（x﹣3）米，

在Rt△AEM中，

∵∠AEM＝25°，

∵0.47，即EM，

∵BN＝EM，

∵x﹣3，解得x≈8.7，

答：旗杆AH的高度约为8.7米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的