（人教版）数学八年级下册同步提升练习专题18.2 （特殊）的平行四边形中的翻折、旋转与动态问题 专题讲练（解析版）.doc

专题18.2（特殊）的平行四边形中的翻折、旋转与动态问题专题讲练

1、以特殊四边形为背景的折叠（翻折）问题

解题技巧：图形的旋转和折叠，意味着全等，抓住不变量。若在图形的折叠中，考察图形折叠的折痕问题，则需要抓住折痕垂直平分对应点所连的线段平分对应边所成的夹角。

例1．（2022.广东八年级期末）如图，平行四边形ABCD中，∠A＝45°，AB＝4，BC＝2，E为AB的中点，F分别为AD边上的动点，将∠A沿EF折叠，点A落在平面内的点处，且点在∠BAD外部，当折叠后重叠部分为等腰三角形时，则线段DF的长为__．

【答案】

【分析】过E作EH⊥AD，根据∠A＝45°，EH⊥AH得AH＝，设∠AFE＝∠AFE＝a，可得＝45°+a，得a＝30°，在Rt△EFH中，可求出HF的长，从而得出答案．

【详解】解：过E作EH⊥AD于H，∵AB＝4，E为AB的中点，∴AE＝EB＝2，

∵∠A＝45°，EH⊥AH，∴△AHE为等腰直角三角形，∴AH2+EH2＝AE2＝4，2AH2＝4，∴AH＝，

∵点A′在∠BAD外部，则由题意知△FQE为等腰三角形，∴∠FEB＝∠FQE，

设∠AFE＝a，∵△EFA为△EFA根据EF对折，∴∠AFE＝∠AFE＝a，∴∠BEF＝，

又∵∠BEF为△AEF的外角，∴∠BEF＝∠A+∠EFA＝45°+a，∴＝45°+a，∴a＝30°，

在Rt△EHF中，∠AFE＝a＝30°，EH＝AH＝，∴EF＝，∴，

又∵BC＝AD＝2，∴DF＝AD﹣AH﹣HF＝故答案为：．

【点拨】本题主要考查了等腰三角形的判定，勾股定理，平行四边形的性质，翻折变换（折叠问题），含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

变式1．（2022.绵阳市八年级期中）如图，，分别是的边，上的点，，．将四边形沿翻折，得到，交于点．则的周长为（）

A．6 B．12 C．18 D．24

【答案】C

【分析】由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，再由平行四边形的对边平行，得出内错角相等，得出△GEF是等边三角形，已知边长求出周长即可．

【详解】解：由折叠得：∠DEF＝∠D′EF＝60°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFG＝60°，∴△GEF是等边三角形，∴EF＝FG＝GE＝6，

∴△GEF的周长为6×3＝18，故选：C．

【点拨】考查平行四边形的性质、折叠的性质和等边三角形的性质等知识，得到△GEF是等边三角形，是解决问题的关键．

例2．（2022山西八年级期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边CD上的一个点，将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，AD′与CE交于点F，若∠B＝50°，∠DAE＝20°，则∠FED′的大小为______．

【答案】40°

【分析】由平行四边形的性质得∠B=∠D=50°，再由三角形的外角性质得∠AEC=∠D+∠DAE=70°，则∠AED=110°，然后由折叠的性质得∠AED=∠AED′=110°，即可求解．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D＝50°，

∵∠DAE＝20°，∴∠AEC＝∠D+∠DAE＝50°+20°＝70°，∴∠AED＝180°﹣70°＝110°，

∵将△ADE沿AE折叠至△AD′E处，∴∠AED＝∠AED′＝110°，

∴∠FED′＝∠AED′﹣∠AEC＝110°﹣70°＝40°，故答案为：40°．

【点拨】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握翻折变换得性质和平行四边形的性质，求出∠AEC的度数是解题的关键．

变式2．（2022.河北九年级月考）如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在点处且平分，若，则____________．

【答案】38°

【分析】根据平行四边形的性质求出∠ADC和∠C，再根据折叠与角平分线的定义求出∠EDC，根据三角形的内角和即可求解．

【详解】∵四边形是平行四边形∴∠ADC=180°-，∠C=，

∵折叠且平分，∴∠ADB=∠A’DB=∠EDC，

∴∠EDC=∠ADC=19°∴180°-∠C-∠EDC=38°故答案为：38°．

【点拨】此题主要考查平行四边形内的角度求解，解题的关键是熟知平行四边形的性质．

例3．（2022·江苏初二期中）如图，矩形纸片ABDC中，AB＝3，AD＝4，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE.如果在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此时PB＝.

【答案】9

【分析】根据折叠的性质知：PB＝PB′，由题意可得PB′⊥CD，连接AD，BB′，则AB＝AB′＝3，BE=B′E，∠EBB′=∠EB′B，根据等腰三角形的性质可得∠PBB′=∠PB′B，得到∠EBP=∠EB′P，由矩形的性