高二上数学练习题及答案 (34).pdf

高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝ax+lnx+1．

（1）讨论函数f（x）的单调性；

（2）对任意的x＞0，不等f（x）≤e恒成立，求实数a的取值范围．x

1+1

解：（1）定义域为（0，+∞），′()=+=，

①若a≥0，则f（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，

1

(+)11

②若a＜0，则′()=，f（x）在（0，−）递增，在（−，+∞）递减，

综上知①a≥0，f（x）在（0，+∞）递增，

②a＜0，f（x）在（0，−11

）递增，（−，+∞）递减；

−−1

（2）不等ax+lnx+1≤e恒成立，等价于≤x在（0，+∞）恒成立，

−−1(−1)+

令()=，x＞0，则′()=，

2

1

令h（x）＝（x﹣1）ex+lnx，x＞0，ℎ′()=+＞0．

所以y＝h（x）在（0，+∞）单调递增，

而h（1）＝0，所以x∈（0，1）时，h（x）＜0，即g（x）＜0，y＝g（x）单调递减；

x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，即g（x）＞0，y＝g（x）单调递增．

所以在x＝1处y＝g（x）取得最小值g（1）＝e﹣1，所以a≤e﹣1，

即实数a的取值范围是{a|a≤e﹣1}．

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