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高二数学练习题
1．已知抛物线y2＝2px（p＞0）上一点P的横坐标为4，且P到焦点F的距离为5，直线l
→→9
=
交抛物线于A，B两点（位于对称轴异侧），且•．
4
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）求证：直线l必过定点．
解：（Ⅰ）由题可得点P到抛物线准线的距离为5，
=5，
抛物线的准线方程为x=−，由抛物线的定义知4+
22
解得p＝2，
故抛物线的方程为y＝4x；2
（Ⅱ）证明：易知直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my+t，
22
12
A（，，y＜0，
），B（），且y12
4142
=+
联立方程{，消去x可得y﹣4my﹣4t＝0，2
2
=4
则△＝16m2+16t＞0，且y+y＝4m，yy＝﹣4t，
1212
→→9()29
由⋅=得12+=，
416124
解得yy＝﹣18或2（舍去），
12
9
所以﹣4t＝﹣18，可得t=，
2
9
即直线AB的方程为x＝my+，
2
9
令y＝0，则x=，
2
9
所以直线l必过定点（，0）．
2
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