高二数学练习题及答案 (17).pdf

高二数学练习题

1

1．已知函数f（x）=x3﹣klnx（k∈R）．

3

（Ⅰ）求函数f（x）的最值；

（Ⅱ）若g（x）＝sinx﹣klnx（x＞0），求方程f（x）＝g（x）的根的个数．

3

1−

解：（Ⅰ）∵f（x）=﹣klnx，∴f′（x）=x32−=．

3

∴当k≤0时，f′（x）＞0，函数在（0，+∞）上单调递增，无最值；

33

当k＞0时，令f′（x）＝0，即x﹣k＝0，得x=，

√

3

∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

√

3

当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，

√

11

3333

)=()−()=

f（x）有极小值也是最小值为(√√．

√

33

综上可得，当k≤0时，函数f（x）在（0，+∞）上无最值；

1

当k＞0时，f（x）的最小值为，无最大值．

3

1

（Ⅱ）g（x）＝sinx﹣klnx（x＞0），f（x）=﹣klnx（k∈R）．x3

3

1

由f（x）＝g（x），得﹣klnx＝sinx﹣klnx（x＞0），x3

3

1

求方程f（x）＝g（x）的根的个数，即求x3﹣sinx＝0（x＞0）的根的个数，

3

1

令h（x）=﹣sinx（x＞0），则h′（x）＝x﹣cosx（x＞0），x32

3

令m（x）＝x﹣cosx（x＞0），则m′（x）＝2x+sinx（x＞0），2

令n（x）＝2x+sinx（x＞0），则n′（x）＝2+cosx＞0在（0，+∞）上成立．

∴n（x）在（0，+∞）上单调递增，

又n（x）＞n（0）＝0，∴m′（x）＞0，即m（x）在（0，+∞）上单调递增，

也就是h′（x）在（0，+∞）上单调递增，

2

又m（0）＝﹣1＜0，m（）=＞0，

2