高二数学练习题及答案 (21).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）＝ax2﹣lnx，a∈R．

（Ⅰ）若f（x）≥0，求a的取值范围；

()

（Ⅱ）令g（x）=，若y＝g（x）的图象与直线y＝a相切，求a的值．

解：（Ⅰ）由题意可得，x∈（0，+∞），

f（x）≥0，即ax2﹣lnx≥0，则a≥，

2

1−2

令函数h（x）=，则h′（x）=，

23

当x∈（0，）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；

√

当x∈（，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．

√

11

=ℎ()=

∴ℎ()√，则a≥．

22

1

故a的取值范围是[，+∞）；

2

（Ⅱ）由题意得，g（x）＝ax−，

设y＝g（x）的图象与直线y＝a相切于点（t，a），

∴{()=，又g′（x）＝a−1−，

′()=02

−=

∴{1−，得t﹣1﹣（2t﹣1）lnt＝0，

−=0

2

1

令F（t）＝t﹣1﹣（2t﹣1）lnt，则F′（t）=−2−1，

112

令H（t）=−2−1，则H′（t）=−−＜0，

2

∴F′（t）在（0，+∞）上单调递减，且F′（1）＝0，

∴当0＜t＜1时，F′（t）＞0，函数F（t）在（0，1）上单调递增，

当t＞1时，F′（t）＜0，函数F（t）在（0，1）上单调递减，

∴当且仅当t＝1时，F（t）＝0，

1−1−1

则a===1．

212

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