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高二数学练习题
1．已知函数F（x）＝ln（x+1）﹣2ax，G（x）＝ex﹣acosx，若F（x）与G（x）在x＝0处
的切线互相垂直．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）若函数g（x）＝F（x）+G（x），求函数g（x）在（﹣1，）上的极小值．
2
1
（Ⅰ）依题意，F′（x）=−2a，
+1
故F′（0）＝1﹣2a，且G′（x）＝ex+asinx，
故G′（0）＝1，
由题可知，1﹣2a＝﹣1，所以a＝1．
（Ⅱ）依据题意，g（x）＝e﹣2x﹣cosx+ln（x+1），x
＜
﹣1＜x，
2
1
令函数h（x）＝g′（x）＝ex++sinx﹣2，
+1
1
则h（0）＝0，且h′（x）＝ex−+cosx，
(+1)2
可知当x∈（0，）时，h（x）＝g′（x）＞g′（0）＝0，
2
当x∈（﹣1，0）时，函数h′（x）单调递增，而h′（0）＝1，
999
又因为h′（−）＝e−10+cos（−）﹣100＜0，
1010
9
故∃x∈（−，0）时，h′（x0）＝0，
10
故∃x∈（x0，0）时，h′（x）＞0，即函数h（x）单调递增，即g′（x）单调递增，0
故当x∈（x0，0）时，g′（x）＜g′（0）＝0，
故函数g（x）在（x0，0）上单调递减，在（0，）上单调递增，
2
则当x＝0时，函数g（x）有极小值g（0）＝0．
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