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高二数学练习题
22
√3
1．椭圆E：+=1（a＞b＞0），短轴长为2且离心率为．
22
2
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）如图，椭圆E与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，Q是椭圆E上异于
顶点外的点，直线CQ交x轴于点N，直线AC交BQ于点M．直线BQ的斜率为m，直
线MN的斜率为n，证明：4n＝2m+1．
√3
=222
+c
解：（Ⅰ）由已知可得：2b＝2，且，又a＝b，
2
解得a＝4，b＝1，2
2
2
故椭圆的标准方程为+=1；
4
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知：A（﹣2，0），B（2，0），C（0，1），
则直线AC的方程为x﹣2y+2＝0，
设直线BQ的方程为y＝m（x﹣2），联立方程{−2+2=0，
=(−2)
4+2
=2−14+24
解得{，所以点M（，），
42−12−1
=
2−1
2
8−2−4
将直线BQ的方程y＝m（x﹣2）代入椭圆方程解得：x=，y=，
22
4+14+1
2
8−2−4
所以Q（，），
22
4+14+1
设N（xN，0），因为C，Q，N三点共线，
−4−10−14−2
2
所以k＝k，即4+1=，解得x=，
CQCN22+1
8−2−0
2
4+1
第1页共2页
4−0
所以直线MN的斜率n=2−1
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