初中圆知识点总结.pptx

初中圆知识点总结

目录

CONTENTS

圆的基本概念与性质

圆的计算问题

圆与直线的关系

圆与圆的位置关系

圆的方程与不等式问题

圆的综合应用问题

01

圆的基本概念与性质

在一个平面内，所有与定点（称为圆心）距离相等的点组成的图形称为圆。

定义

圆心、半径（连接圆心和圆上任意一点的线段）。

要素

圆是中心对称图形，也是轴对称图形。

圆的对称性

圆的旋转性

圆的周长与面积

圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。

周长C=2πr，面积S=πr²（r为半径）。

03

02

01

弦与弧

圆心角

弦心距

连接圆上任意两点的线段称为弦，经过圆心的弦称为直径。任意两条弦及其所夹的弧组成的图形称为弓形。

顶点在圆心的角称为圆心角。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

圆心到弦的距离称为弦心距。对于同一条弦，弦心距越大，弦所对的弧越小。

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

利用垂径定理可以解决与弦、弧、圆心角相关的问题，如求弦长、弧长、圆心角等。同时，垂径定理也是证明线段相等、角相等的重要依据之一。

应用

垂径定理

02

圆的计算问题

圆的周长公式

C=2πr(r为半径)

圆的面积公式

S=πr²(r为半径)

弧长公式

l=θ/360°×2πr(θ为圆心角，r为半径)

扇形面积公式

S=θ/360°×πr²(θ为圆心角，r为半径)

圆柱侧面展开图为长方形，长等于圆的周长，宽等于圆柱的高。

圆锥侧面展开图为扇形，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。

通过展开图可以更好地理解圆柱和圆锥的侧面形状和面积。

在复杂图形中，需要灵活运用圆的周长和面积公式，结合其他几何图形的知识点进行计算。

需要注意的是，在复杂图形中，要找准圆的半径和圆心角，以便正确应用公式进行计算。

同时，还需要注意单位换算和近似计算等问题。

03

圆与直线的关系

相离

相切

相交

判断方法

01

02

03

04

直线和圆没有交点，直线在圆外。

直线和圆有一个交点，直线和圆相切。

直线和圆有两个交点，直线穿过圆。

通过比较圆心到直线的距离与圆的半径大小来判断。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线性质

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

切线判定定理

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

切线长定理

与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内心，三角形叫做圆的外切三角形。

三角形内切圆

三角形三个顶点都在同一个圆上，这个圆叫做三角形的外接圆，三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

三角形外接圆

正多边形的外接圆

01

正多边形所有顶点都在同一个圆上，这个圆叫做正多边形的外接圆。

正多边形的内切圆

02

正多边形每条边都与同一个圆相切，这个圆叫做正多边形的内切圆。

正多边形与圆的关系定理

03

正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径；正多边形的内切圆的圆心也是正多边形的中心，内切圆的半径叫做正多边形的边心距。

04

圆与圆的位置关系

相离

两圆没有交点，一个圆在另一个圆的外部。

两圆只有一个交点，分为内切和外切两种情况。内切时，一个圆在另一个圆的内部，且两圆的半径之差等于圆心距；外切时，两圆半径之和等于圆心距。

两圆有两个交点，两圆的半径之和大于圆心距，半径之差小于圆心距。

一个圆在另一个圆的内部，且圆心距小于两圆的半径之差（或大于半径之和，为特殊情况，此时可视为大圆减小圆的环形）。

相切

相交

内含

相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

应用

利用相交弦定理可以解决一些与圆有关的证明和计算问题，如证明线段相等、角相等以及计算线段的长度等。

圆的切线垂直于经过切点的半径。

切线性质

当两圆相切时，可以利用切线的性质来探讨两圆的位置关系以及切线与半径的关系，进而解决一些与圆有关的几何问题。

应用

对于包含多个圆的复杂图形，需要首先分析各个圆之间的位置关系，如相离、相切、相交等。

复杂图形分析

在处理复杂图形中的多圆问题时，可以通过添加辅助线来简化问题。例如，连接圆心、作切线等。

辅助线应用

结合相交弦定理、切线性质等知识点，综合运用代数和几何方法来解决复杂图形中的多圆问题。

综合应用

05

圆的方程与不等式问题

一般方程

$x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$，其中圆心为$(-frac{D}{2},-frac{E}{2})$，半径为$sqrt{(frac{D}{2})^2+(frac{E}{2})^2-F}$。

标准方程

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$，其中$(a,b)$为圆心，$r$为半径。

参