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重积分的计算方法的研究

摘要

重积分是大学数学的学习中至关重要的一节，会解决很多的实际问题，对后来的曲面积分起到奠基作用．本论文重点研究二重积分和三重积分在计算时用到多种方法.首先，简单的介绍了重积分的概念，系统地讲述其性质.其次，讨论二重积分的计算方法，主要有格林公式、对称性、変量変换等．此外，总结三重积分的计算方法，主要有化三重积分为累次积分、高斯公式、对称性等.最后，对这些重积分的计算方法进行例举.

关键词：二重积分；三重积分；对称性；格林公式；高斯公式

目录

TOC\o1-3\h\z\t题4,4摘要 I

目录 III

一、引言 1

二、基础知识 1

二重积分的一些重要性质 1

三、正文 2

（一）二重积分 2

1、在平面有界闭区域上函数的二重积分的第二个定义 2

2、二重积分的四种计算方法 3

（1）二重积分在直角坐标系下的计算方法 3

（2）二重积分与第二型曲线积分之间的关系 8

（3）二重积分里的变量变换 9

（4）二重积分的对称性 11

（二）三重积分 13

1、三重积分的定义 13

2、三重积分的性质 14

3、三重积分的计算方法 14

（1）化三重积分为累次积分 14

（2）高斯公式 15

（3）三重积分的变量变换 15

（4）三重积分的对称性 18

（三）、重积分中对称性的应用 19

四、结论 21

参考文献 22

一、引言

近年来，目前重积分计算方法的研究在国内外已经有很多学者进行探索，得出很多简便的方法比如重积分里的変量変换和积分区域对称性的应用．因为重积分对于计算曲面的面积、质心坐标、转动惯量、曲顶柱体的体积、曲面的质量等实际领域都发挥着重要作用．所以对于总结归纳重积分的计算方法必不可少，有利于帮助我们更加便捷的有条理性的解决问题．

二、基础知识

二重积分的一些重要性质

如果是定义在积分区域上的一个函数，并且可以积分，为常数，则在上同样可以积分，有

．

如果在积分区域上都可以积分，则在积分区域上同样可以积分，有

．

如果是定义在积分区域上的一个函数并且在这俩个积分区域上都可以积分，俩个区域没有相同的内点，那么在上同样可以积分，有

．

如果与在积分区域上可积，且，，则

．

如果是定义在积分区域上的一个函数，并且可以积分，那么函数在同样的积分区域也可以积分，有

．

如果在函数所定义的封闭区域上可以积分，有，那么

．

此时是这个函数在可以积分的区域的面积．

(中值定理)如果在封闭并且有界可以积分区域上是连续的，那么就会存在一个点，有

，

此时是这个可以积分的区域的面积REF_Re\r\h[1].

三、正文

（一）二重积分

1、在平面有界闭区域上函数的二重积分的第二个定义

假如是定义在封闭区域上的函数，这个区域可以求面积并且是有界的，是具体的数值，如果任给的一个正数ε，总会有某与它对应的一个正数δ，让的任意一个分割中，当分割的细度也就是时，在上的一切积分的总和会出现：

∣i=1n

那么此时称在上可以积分的即可积，数J称为在封闭且有界的区域上的二重积分REF_Re\r\h[1].

通常用来表示，这个二重积分的被积函数是，积分变量是，积分区域是．

如果，在几何上二重积分表示积分区域被作为底，被作为曲顶的一个形状是柱体的图形体积．

如果，那么.也就是这个区域的面积.

注意：

（1）=底面积×高=底面积×1=底面积．

（2）对于任意的分割，只要当，（3.1）式子就能成立，因此可以选择平行于坐标轴的直线网来分割，则每一个小网眼区域σ的面积，此时

记作．

其中dxdy代表小矩形的面积也就是．

（3）函数在有界，可求面积区域上可积的必要条件是它在上有界．即可积必有界．

2、二重积分的四种计算方法

（1）二重积分在直角坐标系下的计算方法

二重积分在直角坐标系下会通常转化成累次积分计算，又因为积分顺序不同主要把积分区域划分成X型区域和Y型区域．

X型区域：如果=φ1(x)是的连续函数是积分区域的下边界，=φ2(x)是的连续函数，是积分区域的上边界.

如图

图SEQ图\*ARABIC1

图SEQ图\*ARABIC2

则此时二重积分，也就是先对积分再对积分．的积分区域是，的积分区域是[φ1x，φ2(x)]，从下往上开始积分．

Y型区域：类似的如果x=φ1(y)是的连续函数是积分区域的左边界，x=φ2(y)是的连续函数，是积分区域的右边界．

如图

图SEQ图\*ARABIC3

图SEQ图\*ARABIC4

则此