5.2.3 角的对称性及角平分线（课件）-北师大版（2024）数学七年级下册.pptx

第五章图形的轴对称七下（北师大版）5.2.3角的对称性及角平分线

1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质.2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题.3.会用尺规作角的平分线.学习目标

新课引入牧羊人想建一个羊圈A地，使羊圈A到草地m和河流l的距离相同.牧羊人应该把羊圈A地建在哪个位置?草地m河流l羊圈A牧羊人应该把羊圈建在什么位置呢？通过这节课的学习来解决这个问题吧！

新知学习结论：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.如果把∠AOB沿OC翻折，使得AO与BO重合，发现OC平分∠AOB，即∠AOC=∠BOC.OBAC

尝试·思考如图，OP是∠AOB的平分线，点C是OP上的任意一点.在∠AOB中画出以OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D，连接CD和CD.(1)你认为线段CD和CD之间有什么关系?说说你的理由.AOBCPDDCD=CD理由一：用刻度尺测量CD，CD，得到两条线段的长度相等.

AOBCPDD理由二：连接DD；因为OP是∠AOB的平分线，点D和D关于OP对称，所以线段DD被直线OP垂直平分.又因为点C是OP上的任意一点，所以CD=CD

(2)特别地，当CD⊥OA时，CD与OB有怎样的位置关系?为什么?此时，线段CD和CD之间还有(1)中的关系吗?由此你能得到什么结论?AOBCPDD当CD⊥OA时，CD⊥OB；CD=CD结论：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.你能尝试说明一下吗？

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.所以PD=PEPD⊥OA，PE⊥OB，数学语言：因为OP是∠AOB的平分线，AOBCPDE

ABCDEF理由如下：因为AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，所以DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°.在△BDE和△CDF中，所以△BDE≌△CDF(AAS).所以EB=FC.∠B=∠C，DE=DF，∠DEB=∠DFC，例1已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且∠B=∠C，DE⊥AB，DF⊥AC.垂足分别为E，F.试说明：EB=FC.

思考·交流如图，已知∠AOB，如何作出它的平分线？AOB假设∠AOB的平分线已作出，那么，(1)这条射线有什么特征?角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.(2)如何确定这条射线上的除端点之外的一个点?用三角尺、量角器、圆规等工具试一试.如果只用尺规呢?与同伴进行交流.温馨提示：需要确定的点是角的对称轴上的点，因此应当从角两边进行“对称”的操作.

BOA用尺规作角平分线.例2利用尺规，作∠AOB的平分线(如图).已知：∠AOB.求作：射线OC，使∠AOC＝∠BOC.作法：1.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD＝OE.你能说说这样作的道理吗？练一练2.分别以D，E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.3.作射线OC，OC就是∠AOB的平分线(如图).DEC

BOADEC在△OCD和△OCE中OD=OECD=CEOC=OC所以△OCD≌△OCE(SSS)；所以∠AOC=∠BOC.原理说明

上面提到，牧羊人想新建一个羊圈A地，使从羊圈A地出发，让羊群在草地m吃草的时间和让羊群去河流l饮水的时间相同.牧羊人应该把羊圈A地建在哪个位置，可使两个路程所用时间相同?m草地l河流A羊圈OB即牧羊人应该把羊圈A地建在∠DOE的角平分线OB上的任意一点，便可使两个路程所用时间相同.因为角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.DE

思考·交流过直线上一点作已知直线的垂线与作一个平角的平分线，这两种尺规作图方法有什么共同点?与同伴进行交流.都涉及到了一个对称轴的概念.在作垂线的情况下，利用的是直线的对称性；而在作平角的平分线时，利用的是角的对称性.

随堂练习1.(2024常州)如图，在纸上画有∠AOB，将两把直尺按图示摆放，直尺边缘的交点P在∠AOB的平分线上，则()A.d1与d?一定相等B.d?与d?一定不相等C.l?与l?一定相等D.l?与l?一定不相等A

2.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中不一定成立的是()AOBPDA.PA=PB B.PO平分∠APBC.OA=OB D.AB垂直平分OP

3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点