（江苏专用）中考数学二轮复习大题练习专题06二次函数的性质与应用（原卷版）.doc

专题06二次函数的性质与应用

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率

1.二次函数及三种表达形式

一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．

一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）．

顶点式：y=a（x–h）2+k（a，h，k为常数，a≠0），顶点坐标是（h，k）

交点式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函数与x轴的交点的横坐标，a≠0

2.二次函数图象与性质

解析式

二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

对称轴

x=–

顶点

（–，）

a的符号

a0

a0

开口方向

开口向上

开口向下

最值

当x=–时，

y最小值=

当x=–时，

y最大值=

最点

抛物线有最低点

抛物线有最高点

增减性

当x–时，y随x的增大而减小；当x–时，y随x的增大而增大

当x–时，y随x的增大而增大；当x–时，y随x的增大而减小

3.二次函数图象的特征与a，b，c的关系

字母的符号

图象的特征

a

a0

开口向上

a0

开口向下

b

b=0

对称轴为y轴

ab0（a与b同号）

对称轴在y轴左侧

ab0（a与b异号）

对称轴在y轴右侧

c

c=0

经过原点

c0

与y轴正半轴相交

c0

与y轴负半轴相交

二次函数的平移

（1）将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h）2+k，顶点坐标为（h，k）．

（2）保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：

【注意】二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析

二次函数的应用

在生活中，我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，解决这类问题的一般思路：首先要读懂题意，弄清题目中牵连的几个量的关系，并且建立适当的直角坐标系，再根据题目中的已知条件建立数学模型，即列出函数关系式，然后运用数形结合的思想，根据函数性质去解决实际问题．考察背景主要有：经济问题；物体运动轨迹问题；拱桥问题等.

（1）利用二次函数解决利润问题

在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．

（2）构建二次函数模型解决实际问题

利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题．

（3）几何图形中的最值问题

几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论．

【专项突破】深挖考点考向，揭示内涵实质

考向一、纯函数推力计算与证明

1．（2022·江苏盐城·校考一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1．

(1)抛物线的对称轴为，抛物线与y轴的交点坐标为．

(2)试说明直线y＝x﹣2与抛物线y＝ax2﹣2ax﹣1一定存在两个交点．

2．（2022·江苏南通·统考一模）已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）经过点(?1,8)

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点t,y1,t+1,y2在该抛物线上，当

(3)点A(m,n)为该抛物线上一点，当2m?n取得最大值时，求点A的坐标．

3．（2021·江苏苏州·苏州市立达中学校校考二模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x

（l）当m=3时，求抛物线的顶点坐标；

（2）①写出抛物线的对称轴________（用含m的式子表示）；

②若点m?1,y1，m,y2，m+3,y3都在抛物线y=x

（3）直线y=x+b与x轴交于点A(?8,0)，与y轴交于点B，过点B作垂直于y轴的直线l与抛物线y=x2?2mx+m2?1有两个交点，在抛物线对称轴左侧的点记为

4．（2021·江苏苏州·校联考一模）已知点A（t，1）为函数y＝ax2+bx+4（a，b为常数，且a≠0）与y＝x图象的交点．

（1）求t；

（2）若函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴只有一个交点，求a，b；

（3）若1≤a≤2，设当12≤x≤2时，函数y＝ax2+bx+4的最大值为m，最小值为n，求m﹣n

5．（2022·江苏宿迁·校联考一模）已知函数y＝|x2﹣4|的大致图像如图所示，那么：方程|x2﹣4|＝m．（m为实数）

(1)若该方程恰有3个不相等的实数根，则m的值是_____．

(2)若该方程恰有2个不相等的实数根，则m的取值范围是_____．

考向二、二次函数图象与性质综合