高二上数学练习题及答案 (24).pdf

高二上数学练习题

1．已知F（0，1）为抛物线C：y＝mx2的焦点．

1+1

（1）设(，)，动点P在C上运动，证明：|PA|+|PF|≥6．

1

（2）如图，直线l：y=x+t与C交于M，N两点（M在第一象限，N在第二象限），分

2

别过M，N作l的垂线，这两条垂线与y轴的交点分别为D，E，求|DE|的取值范围．

111

解：（1）由抛物线的方程可得焦点F的坐标（0，），由题意可得=1，所以m=，

444

即抛物线的方程为：x＝4y，所以可得A（4，5），且可得抛物线的准线方程为：y＝﹣1，2

设P到准线的距离为d，由抛物线的性质可得|PF|＝d，

因为A到准线的距离为5+1＝6，

所以|PA|+|PF|＝|PA|+d≥6．过A作准线的垂线交抛物线于P，此时取等号．

即证：|PA|+|PF|≥6．

2

=4

（2）由{1整理可得x﹣2x﹣4t＝0，设M（x2，y），N（x，y），（x＞0，x

112212

=+

2

＜0），

2＞

+)−4=4+162，

则x+x＝2，xx＝﹣4t＜0，所以t＞0，x﹣x=√(√

1212121212

直线DM的方程为：y﹣y＝﹣2（x﹣x），令x＝0可得y＝2x+y，

11D11

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同理可得y＝2x+y，

E22

155

所以|DE|＝y﹣y＝2（x﹣x）+（y﹣y）＝2（x﹣x）+（x﹣x）=（x﹣x）＞•2

DE1212122122122

＝5，

所以|DE|＞5，

所以|DE|的取值范围（5，+∞）．

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