高二上数学练习题及答案 (5).pdf

高二上数学练习题

1．已知函数f（x）＝ln（x﹣1）+（a∈R）．

（1）求函数f（x）的单调性；

+23

（2）当a＞0，x∈[1，e2]时，f|（x+1）−|≤−恒成立，求实数a的取值范围．

+12

2

1−+

解：（1）由题意得：f′（x）=−=（x＞1），

−122

(−1)

令x﹣ax+a＝0，当△＝a﹣4a≤0即0≤a≤4时，f′（x）≥0恒成立，22

函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

22

当△＝a﹣4a＞0即a＜0或a＞4时，由f′（x）＝0，解得：x21=−√−4，x2=+√−4，

22

当a＜0时，x1＜1，x＜1，故f（x）在（1，+∞）上单调递增，2

当a＞4时，x＞1，x＞1，故f（x）在（1，x）递增，在（x，x）递减，在（x，+∞）

121122

递增，

222

−√−4−√−4+√−4

综上：当a＞4时，f（x）在（1，）递增，在（，）递

222

2

减，在（+√−4，+∞）递增，

2

a≤4时，f（x）在（1，+∞）上单调递增；

3

（2）由题意可知问题等价于当a＞0，x∈[1，e2]时，+|lnx﹣a|≤2恒成立，

设h（x）=+|lnx﹣a|，x∈[1，e2]，

1

当a≥2时，h（x）=−lnx+a，则h′（x）=−−＜0，

2

3

故h（x）在[1，e2]上单调递减，故h（x）＝h（1）＝2a≥4＞，不合题意，

max2

1

当0＜a＜2时，若x∈[1，ea]，则h（x）=−lnx+a，h′−＜0，