高二数学练习题及答案 (13).pdf

高二数学练习题

1．设函f（x）＝a（x﹣1）ex22

，g（x）＝（1+2a）mx（其中m∈R）．

（Ⅰ）当a＝2时，求曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程；

1()

（Ⅱ）当a＝1，m∈（，1]时，求函h（x）＝f（x）−在[0，m]上的最大值W．

22+

解：（Ⅰ）当a＝2时，f（x）＝2（x﹣1）e，x

∴f′（x）＝2ex+（2x﹣2）ex＝2xe，x

f′（3）＝6e3，又f（3）＝4e，3

33

∴曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为y﹣4e＝6e（x﹣3），

即6e3x﹣y﹣14e3＝0；

()

2

（Ⅱ）当a＝1时，h（x）＝f（x）−=(−1)−，

2+

h′（x）＝e+（x﹣1）exx﹣2mx＝xe﹣2mx＝x（e﹣2m），xx

令h′（x）＝0，得x1＝0，x＝ln（2m），2

11−

令G（m）＝ln（2m）﹣m，则G′（m）=−1=＞0，

1

∴G（m）在（，1]上单调递增，

2

∴G（m）≤G（1）＝ln2﹣1＝ln2﹣lne＜0，

从而ln（2m）＜m，则ln（2m）∈（0，m），

∴当x∈（0，ln（2m））时，h′（x）＜0，当x∈（ln（2m），m）时，h′（x）＞0，

m3}，

∴W＝max{h（0），h（m）}＝max{﹣1，（m﹣1）e﹣m

令H（m）＝（m﹣1）em﹣m3+1，则H′（m）＝m（em﹣3m），

mm

令φ（m）＝e﹣3m，则φ′（m）＝e﹣3≤e﹣3＜0，

1

∴函φ（m）在（，1]上单调递减，

2

13

而φ（）φ（1）＝（−）（e﹣3）＜0，

√

22

11

∈（）＝0，且当m∈（）时，φ（m）＞0；

∴存在x0，1]，使得φ（x0，x0

22

当m∈（x0，1）时，φ（m）＜0，

1

∴函H（m）在（，x0）上单调递增，在（x，1）上单调递减，0

2

117

∵H（）=−√+＞0，H（1）＝0，

228