高二数学练习题及答案 (19).pdf

高二数学练习题

√5

1．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率为的椭圆E，满足其上、下顶点和左、

5

右焦点构成的四边形的面积为4．

（Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）设A，B是E上的两点，且满足OA⊥OB（O为坐标原点），试求△OAB面积的最

小值．

22

解：（Ⅰ）由题意设椭圆的方程为：+=1，

22

离心率e==√5，可得a＝5c，22

5

22222

+c

而a＝b，所以b＝4c，

1

再由上、下顶点和左、右焦点构成的四边形的面积为4可得S＝2××2c×b＝2bc＝4，

2

所以bc＝2c＝2，所以可得c＝1，a＝5，b＝4，2222

22

所以椭圆的方程为：+=1；

54

（Ⅱ）设A（x，y），B（x，y），

1122

当直线AB的斜率不存在时，设直线AB的方程为：x＝m，

由OA⊥OB可得∠BAO＝45°，所以x＝y＝m，

11

22

2√

代入椭圆的方程为：+=1，解得：m＝±5，

543

120

此时S△OAB=2AB•|x|=19，

所以此时直线的方程为：x＝±2√5；

3

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为：y＝kx+t，

=+

22+10ktx+5t2

联立直线与椭圆的方程{22，整理可得：（4+5k）x﹣20＝0，

+=1

54

22+4）（5t222+4）＞0，

则△＝（10kt）﹣4（5k﹣20）＝80（5k﹣t

2

105−20

且x+x=−，xx=，

122122

4+54+5

→→

由OA⊥OB可得⋅=xx+yy

1212

＝xx+（kx+t）