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高二数学练习题
1．已知函数f（x）＝xe2x﹣2ax+2，g（x）＝alnx+2．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（2）设h（x）＝f（x）﹣g（x），若h（x）在（0，+∞）上有2个零点，求实数a的取
值范围．
2x
解：（1）当a＝1时，f（x）＝xe﹣2x+2，
2x
∴f（0）＝2，f′（x）＝（1+2x）e﹣2，
得f′（0）＝e﹣2＝﹣1，0
可得曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为y＝﹣x+2，
即x+y﹣2＝0；
2x
（2）由题意知，h（x）＝xe﹣2ax﹣alnx，
若h（x）在（0，+∞）上有2个零点，显然a≠0，
2
1()
2x=
由xe﹣2ax﹣alnx＝0，得，
2
1
2x=
令t＝xe，t∈（0，+∞），则，
1−
令φ（t）=，则φ′（t）=2，由1﹣lnt＝0，得t＝e，
故当t∈（0，e）时，φ′（t）＞0，当t∈（e，+∞），φ′（t）＜0，
于是φ（t）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，
1
故φ（t）的极大值为φ（e）=．
+
又当t→+∞时，φ（t）→0，当t→0时，φ（t）→﹣∞，
11
故h（x）在（0，+∞）上有2个零点时，∈（0，），
故实数a的取值范围为（e，+∞）．
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