高二数学练习题及答案 (26).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）＝x2﹣ax+（a，b∈R）．

（1）若a＞b＞0，证明f（a）＞f（b）；

（2）若对任意x∈（0，+∞），b∈（﹣e，0），都有f（x）＞﹣e，求实数a的取值范围．

证明：（1）要证f（a）＞f（b），

需证＞b﹣ab+lnb，2

即证＞−+，

即证a+＞+，

设g（x）＝x+，需证g（x）在（0，+∞）上单调递增，

2

1−+1−

g′（x）＝1+=，设h（x）＝x2+1﹣lnx，

22

2

12−1√2

则h′（x）＝2x−=，令h′（x）＝0，得x=，

2

√2

当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；

2

√2

当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增．

2

√23+2

∴ℎ()=ℎ()=＞0，即g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，

22

∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，故原问题得证；

2＞＜2

解：（2）由f（x）+e=−++0，得ax++，

∵x＞0，∴a＜x++．

2

设F（x）＝x++，

2

2

(1−2)−(1−2)

则F′（x）＝1+−=+，

3223

∵b＜0，∴当x∈（0，）时，F′（x）＜0，F（x）单调递减；

√

，

当x∈（+∞）时，F′（x）＞0，F（x）单调递增．

√

=()=2+

∴()√√2，

＜

∴a2+，

√2

＜

又a2+对任意b∈（﹣e，0）都成立，

√2