高二数学练习题及答案 (5).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）＝ax﹣e+2，其中a≠0．x

（1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a∈R，对任意x∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得f（x）+f（x）＝4成

1212

立？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）由f（x）＝ax﹣ex+2，得f′（x）＝a﹣ex，

当a＜0时，对任意x∈R，f′（x）＜0，f（x）单调递减，

当a＞0时，令f′（x）＝0，解得：x＝lna，

当x∈（﹣∞，lna）时，f′（x）＞0，当x∈（lna，+∞）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（﹣∞，lna）单调递增，在（lna，+∞）上单调递减，

综上：当a＜0时，f（x）单调递减，

当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）单调递增，在（lna，+∞）上单调递减；

（2）存在满足条件的实数a，且实数a的值为e+1，

理由如下：

①当a≤1且a≠0时，由（1）知：f（x）在[0，1]上单调递减，

则x∈[0，1]时，f（x）max＝f（0）＝1，

则f（x1）+f（x）≤2f（0）＝2＜4，2

故此时不满足题意；

②当1＜a＜e时，由（1）知：在[0，lna]上，f（x）递增，在（lna，1]上，f（x）单调递

减，

则当x∈[0，1]时，f（x）max＝f（lna）＝alna﹣a+2，

当x1＝0时，对任意x∈[0，1]，2

f（x）+f（x）≤f（0）+f（lna）＝1+alna﹣a+2＝a（lna﹣1）+3＜3，12

故此时不满足题意；

③当a≥3时，令g（x）＝4﹣f（x），（x∈[0，1]），

由（1）知：f（x）在[0，1]上单调递增，从而g（x）在[0，1]上单调递减，

故g（x）＝g（0）＝4﹣f（0），g（x）＝g（1）＝4﹣f（1），

maxmin

若对任意x∈[0，1]，总存在x∈[0，1]，使得f（x）+f（x）＝4成立，

1212

则f（x1）＝g（x），{2(0)≥(1)，即{(0)+(1)≥4，

(1)≤(0)(1)+(0)≤4

第1页共2页

故f（0）+f（1）＝a﹣e+3＝4，解得：a＝e+1，

综上，存在满足题意的实数a，且实数a的值为：e+1．

第2页共2页