2025年中考数学一轮复习学案：5.4 圆的证明和计算类重难点综合问题 （教师版）.pdf

2025年中考数学一轮复习学案（全国版）

第五章圆

5.4圆的证明和计算类重难点综合问题

考点分布考查频率命题趋势

考点1不含三角函数的问题☆☆☆数学中考中，有关圆的证明与计算的部分，是每

年中考试卷解答题里必考的综合题，每年考查1

考点2含三角函数的问题☆☆

道题,分值为8~12分，一般略简单一些的会设置

2小问，综合一些的会设置3小问。一般会出现

证明某线段是切线，或者证明两个角相等，或者

两条线段相等。然后其他小问让计算某线段长度，

考点3创新型的问题☆☆

或者求某角的大小等。用到的知识比较综合，圆

周角定律、相似三角形性质、勾股定理、三角函

数以及数学思想方法。

☆☆☆代表必考点，☆☆代表常考点，☆星表示选考点。

夯实基础

1.判定切线的方法

（1）若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化

等；有时可通过计算结合相似、勾股定理证垂直；

（2）若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐

藏角平分线；总而言之，要完成两个层次的证明：

①直线所垂直的是圆的半径（过圆上一点）；

②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进

行由此及彼的联想、要总结常添加的辅助线.

2.与圆有关的计算

计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，

形式复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。

特别是要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而

化未知为已知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有：

（1）构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段（已知任意两条线段可

求其它所有线段长）；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构

造三角函数.

（2）方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立

方程，解决问题。

（3）建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，

通过基本图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。

3.圆中常用辅助线的添法顺口溜

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径连。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

假如图形较分散，对称旋转去实验。

基本作图很关键，平时掌握要熟练。

解题还要多心眼，经常总结方法显。

切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。

分析综合方法选，困难再多也会减。

虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

考点1.不含三角函数的问题

【例题1】（2024甘肃临夏）如图，直线与lO相切于点，为O的直径，过点作

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