《浅析高等数学中某些定理的证明》9700字.doc

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浅析高等数学中某些定理的证明

目录

TOC\o1-3\h\z\u摘要 1

引言 3

第1章罗尔定理 4

1.1罗尔定理概述 4

1.2罗尔定理证明 4

1.3罗尔定理几种特殊情况 5

第2章拉格朗日中值定理 7

2.1拉格朗日中值定理的概述 7

2.2拉格朗日中值定理的几种证明方法 7

2.2.1最简单的证明的方法 7

2.2.2利用作差法证明拉格朗日中值定理 7

2.2.3利用对称法证明拉格朗日中值定理 8

2.2.4利用坐标变换法证明拉格朗日中值定理 9

2.2.5利用迭加法证明拉格朗日中值定理 10

2.2.6利用行列式法证明拉格朗日中值定理 11

2.2.7利用闭区间套定理证明拉格朗日中值定理 13

第3章柯西中值定理 16

3.1柯西中值定理概述 16

3.2柯西中值定理的几种证明方式 16

3.2.1利用罗尔定理证明柯西中值定理 16

3.2.2利用反函数证明柯西中值定理 17

3.2.3利用坐标变换证明柯西中值定理 19

3.2.4利用迭加法证明柯西中值定理 21

3.2.5利用待定系数法证明柯西中值定理 22

3.2.6利用行列式法证明柯西中值定理 22

3.2.7利用闭区间套定理证明柯西中值定理 23

3.3对其他证明方式的思考 25

第4章总结 28

参考文献 30

摘要

本文主要对三种微分中值定理的概念、推广以及证明方法等方向的内容进行了具体的讨论．最主要的就是用多种方法例如迭代法、坐标变换法等方法来构造函数利用罗尔定理或利用闭区间套定理直接证明另外两种微分中值定理．最后进一步扩展用达布定理证明柯西中值定理．

关键词：微分中值定理；构造辅助函数；闭区间套定理；达布定理

引言

在高等数学课本中有许多至关重要的定理，需要证明以及进一步的探究．故本课题针对高等生数学中重点定理之一的微分中值定理展开一系列的探究与思考．本课题主要描述的是微分中值定理的证明方式以及三种微分中值定理之间的联系．其中重点讲述了除罗尔定理外其他两种微分中值定理的多种证明方法．

微分中值定理的重要性不仅仅表现在微积分等方面，它还是各类大型考试中的“常客”，是非常重要的考点．从公元前古希腊时代开始，在诸多著名数学家们的研究探索下，微分中值定理逐渐变得更加完善、严谨、实用性越来越高，研究价值越来越大．近几年来，在数学家杨艳萍和明清河主编的《数学分析中的重要定理》一书中对微分中值定理的发展和应用作了详细的介绍[1]．同样在数学家卢玉峰的《微分中值定理历史与发展》一文中，对微分中值定理的数学史作了相当详细的说明[2]．除这些之外还有其它许多相关作品．

整个微分学的理论奠基石就是微分中值定理，它建立了函数值与导数值之间的定量联系．微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论．因此值得被反复研究、被推广，作为一种基础性定理，它的相关知识应该被大众所熟知．

本篇毕业论文中讲述的定理是我在高等数学课本中精心挑选出的，是我认为值得被总结、被思考的一类定理．我希望本篇文章能够在增加读者对三种微分中值定理认知的基础上，给大家带来思想方面的冲击，有更多新奇的想法出现．

第1章罗尔定理

罗尔定理是微分学中一条比重较大的定理，而且是相对于其余两种微分中值定理而言局限性最强的一条，限制条件也最为严格．同时罗尔定理也是证明另外两种微分中值定理的基础．

1.1罗尔定理概述

罗尔(Rolle)定理[3]假设上的函数满足以下条件：

(1)在区间上连续；

(2)在区间内可导；

(3)，则至少存在一个，使得．

其几何意义为：二维直角坐标系中，有一段光滑曲线满足两端点的纵坐标相等．那么在这段曲线上至少存在一点，并有在此点处的切线与坐标轴轴平行[3]．

1.2罗尔定理证明

因为罗尔定理比较基础，从其图像上亦可直接观察出来．在此就不做过多的证明了，接下来用最为普遍的用来证明罗尔定理的证明方法，如下：

证明由于在闭区间上连续，则可令，且显然存在．

若，则(为任意常数)，内任意一点都可视作．

若，则根据两端点值相等，与中至少有一个(不妨设为)在区间内某点取到，即，下面证明[4]．

因为在区间内可导，故而存在，且有其左、右极限都存在且相等，即

，

根据是在区间内的最大值，可得无论或，都有，因而

当时，有，

当时，有，

所以，．罗尔定理得以证明[5]．

1.3罗尔定理几种特殊情况

(1)若函数在开区间上连续且可导：

有界函数：有，则在内至少存在一个，使得．

无界函数：有(或)，则在内至少存在一个，使得．

(2)若函数在区间上