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线性变换的有理标准型及矩阵的相似不变量分析

目录

TOC\o1-2\h\u32133线性变换的有理标准型及矩阵的相似不变量 1

266821矩阵的最小多项式 1

161441.1基本概念与性质 2

132091.2最小多项式求解 3

289402线性变换的有理标准型 5

53753矩阵相似的完全不变量 7

194473.1相抵标准型与初等因子 7

224103.2域F上矩阵相似的充分必要条件 11

摘要：本文将通过研究矩阵最小多项式的不同情形，进而研究线性变换的有理标准型，寻求最简单的矩阵描述形式，探索空间分解的方法.

关键词：最小多项式、有理标准型、矩阵的相似不变量.

1矩阵的最小多项式

1.1基本概念与性质

定义1.1.1假设是域上的线性空间V上的一个线性变换，在的所有非零的零化多项式中，次数最低的且首项系数为1的多项式称为的最小多项式.

定义1.1.2假设是域上的一个级矩阵，的所有非零的零化多项式中，次数最低的且首项系数为1的多项式称为矩阵的最小多项式.

证明假设是域上的维线性空间V上的一个线性变换，是在V的一个基下的矩阵.因为为的一个零化多项式，当且仅当为的零化多项式，所以，由为的最小多项式，推出也为矩阵的最小多项式.

性质1.1.3级矩阵的最小多项式唯一，.

性质1.1.4为的一个最小多项式，是的任一零化多项式，特别的，有，.

证明必要性假设为的一个零化多项式，做带余除法，得：

用代入上式，则

.

因为，所以.因此为的一个零化多项式，，所以.

充分性假设，存在，使.代入，得.所以为的一个零化多项式.

性质1.1.5设为的一个最小多项式，为的特征多项式，则与有相同根（可以有不同重数）.

证明因为，所以的每个根也都为的根.

设为的其中一个根，因此为的一个特征值.于是，存在，，使.设

，

则

又因为，则.所以是的一个根.

性质1.1.6相似矩阵有相同的最小多项式.

证明设为矩阵的最小多项式，为矩阵的最小多项式.因为，可知，可逆.因此，.又由性质1.1.4可知，，同理可得，.又因为与的首项系数都是1，所以.

性质1.1.7设是维线性空间的线性变换，则在中一定存在一组基，使在这组基下的矩阵是Jordan形.

1.2最小多项式求解

矩阵的最小多项式求解方法多种多样，通过对以上概念性质的学习，下面主要探讨四种基本的求解方法.

1.2.1由特征多项式求解最小多项式

设是矩阵的所有不同的特征值，，则的特征多项式为

由性质1.1.5可知，矩阵的最小多项式一定有下列形式：

如果矩阵的特征值是单根，则；

如果矩阵的特征多项式，则，其中，是能使的最小次数.

1.2.2待定系数法

设是矩阵的最小多项式，且，则可按以下步骤求解：

当，对求解；若有解，则；若无解，进行第二步；

当，对求解；若有解，则；若无解，进行第三步；

当，对求解；

若有解，则；若无解，进行下一步；

按上述方式循环，直至求出使矩阵方程

成立的为止.

1.2.3初等变换法

设矩阵的特征矩阵为，则其为一个矩阵，对此特征矩阵进行初等变换（行/列）化为标准型，然后通过求得的标准型，求出矩阵的所有不变因子，则特征矩阵的最后一个不变因子就是矩阵的最小多项式，即.

或者也可以先求出特征矩阵的阶与阶行列式因子，则可求出的最小多项式

.

1.2.4利用Jordan标准型求解

设是矩阵的所有不同的特征值，，则：

当为单特征值，为一阶Jordan块；

当为矩阵的重特征值，则为以为对角元素的Jordan块的阶

数的和.

设为以为对角元素的Jordan块的最大阶数，则的最小多项式为：

又因为当矩阵化为标准型后，每个Jordan块一一对应于的初等因子，则由性质1.1.7可知的最小多项式就是所有这些初等因子的最小公倍式.

2线性变换的有理标准型

2.1循环子空间

定义2.1.1假设是域F上的线性空间V上的一个线性变换，若存在，可使线性无关，可以由线性表出，亦或，则可称是由生成的（强）循环子空间.

定理2.1.2假设是域F上的线性空间V上的一个线性变换,V是一个循环子空间，当且仅当的最小多项式与特征多项式相等.

记为.

2.2多项式的友矩阵与不变因子

定义2.2.1是域F上的一个多项式，则

是多项式的友矩阵.

定义2.2.2矩阵的标准型

，

其中的首项系数为1，且，则主对角线上的所有非零元素称为矩阵的不变因子.

性质2.2.3多项式的友矩阵的特征多项式与最小多项式相等.即

性质2.2.4（1）多项式的友矩阵的行列式为.

（2）多项式的友矩阵的不变因子是1（个）与.