高中抛物线专题.docVIP

抛物线专题复习讲义及练习

1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质()：

标准方程

图形

焦点

准线

范围

对称轴

轴

轴

顶点

〔0，0〕

离心率

2.抛物线的焦半径、焦点弦

①的焦半径;的焦半径；

②过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2p.

③AB为抛物线的焦点弦，那么，，=

3.的参数方程为〔为参数〕，的参数方程为〔为参数〕.

★重难点突破★

问题1：抛物线y=4上的一点M到焦点的距离为1，那么点M的纵坐标是()

A.B.C.D.0

点拨：抛物线的标准方程为，准线方程为,由定义知，点M到准线的距离为1，所以点M的纵坐标是

问题2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点〔3，2〕的抛物线的条数有

解：抛物线的类型共有4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有2条

考点1抛物线的定义

题型利用定义,实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换

[例1]点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q〔2，－1〕的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为

【解题思路】将点P到焦点的距离转化为点P到准线的距离

[解析]过点P作准线的垂线交准线于点R，由抛物线的定义知，，当P点为抛物线与垂线的交点时，取得最小值，最小值为点Q到准线的距离,因准线方程为x=-1,故最小值为3

【新题导练】

1.抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、、成等差数列，那么有〔〕

A． B．

C． D.

［解析］C由抛物线定义，即：．

2.点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,

M点坐标是()

A.B.C.D.

[解析]设M到准线的距离为,那么，当最小时，M点坐标是，选C

考点2抛物线的标准方程

[例2]求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：

(1)过点(-3,2)(2)焦点在直线上

【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论.

[解析](1)设所求的抛物线的方程为或,

∵过点(-3,2)∴

∴

∴抛物线方程为或,

前者的准线方程是后者的准线方程为

(2)令得，令得，

∴抛物线的焦点为(4,0)或(0,-2),当焦点为(4,0)时,

∴，此时抛物线方程;焦点为(0,-2)时

∴，此时抛物线方程.

∴所求抛物线方程为或,对应的准线方程分别是.

【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面

【新题导练】

3.假设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,那么的值

[解析]

5.假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点,且，求此抛物线的方程

[解析]设点是点在准线上的射影，那么，由勾股定理知，点A的横坐标为，代入方程得或4，抛物线的方程或

考点3抛物线的几何性质

题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证

[例3]设A、B为抛物线上的点,且(O为原点),那么直线AB必过的定点坐标为__________.

【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置

［解析］设直线OA方程为,由解出A点坐标为

解出B点坐标为，直线AB方程为,令得，直线AB必过的定点

【名师指引】〔1〕由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；〔2〕B点坐标可由A点坐标用换k而得。

【新题导练】

6.假设直线经过抛物线的焦点，那么实数

[解析]-1

7.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,假设A、B在抛物线准线上的射影为,那么()

A.B.C.D.

[解析]C

根底稳固训练

2.在平面直角坐标系中，假设抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，那么点P的纵坐标为〔〕

A.3B.4C.5D.6

[解析]B利用抛物线的定义，点P到准线的距离为5，故点P的纵坐标为4．

3.两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且那么抛物线的焦点坐标为()

A．