（江苏专用）中考数学二轮复习大题练习专题09锐角三角函数的应用（真题15道模拟 30道）（解析版）.doc

专题09锐角三角函数的应用（江苏真题15道模拟30道）

【方法揭秘】揭示思想方法，提升解题效率

1.锐角三角函数的定义

正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=．

根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形.

2.特殊角的三角函数值

α

sinα

cosα

tanα

30°

45°

1

60°

3.解直角三角形

（1）在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．

（2）解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则：1）三边关系：a2+b2=c2；2）两锐角关系：∠A+∠B=90°；3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=；4）sin2A+cos2A=1．

（3）科学选择解直角三角形的方法口诀：

已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切；

已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢；

已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦.

4.解直角三角形及应用

（1）仰角和俯角

仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角．

俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角．

（2）坡度和坡角

坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=．

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡．

（3）方向角（或方位角）

指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角．

（4）解直角三角形的应用

通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问．

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度．

解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．

（5）解直角三角形中“双直角三角形”的基本模型：

【真题再现】直面中考真题，实战培优提升

1．（2022·江苏淮安·统考中考真题）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连.为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC=37°，∠ABC=58°，AC=80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，

【答案】A、B两点之间的距离约为94米

【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为点D，分别解Rt△ACD，Rt△BCD，求得AD,BD的长，进而根据

【详解】如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

在Rt△ACD

∵∠DAC=37°，AC=80米，

∴sin∠DAC=CDAC

∴CD=AC?sin

AD=AC?cos

在Rt△BCD

∵∠CBD=58°，CD=48米，

∴tan∠CBD=

∴BD=CD

∴AB=AD+BD=64+30=94（米）.

答：A、B两点之间的距离约为94米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．

2．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，公园内有一个垂直于地面的立柱AB，其旁边有一个坡面CQ，坡角∠QCN=30°．在阳光下，小明观察到在地面上的影长为120cm，在坡面上的影长为180

【答案】(170+603)cm

【分析】延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，根据直角三角形的性质求出DF，根据余弦的定义求出CF，根据题意求出EF，再根据题意列出比例式，计算即可．

【详解】解：延长AD交BN于点E，过点D作DF⊥BN于点F，

在Rt△CDF中，∠CFD=90°，∠DCF=30°，

则DF=12CD=90（cm），CF=CD?cos∠DCF=180×32=90

由题意得：DFEF=6090，即90EF

解得：EF=135，

∴BE=BC+CF+EF=120+903+135=(255+903)cm，

则AB255+903=

解得：AB=170+603，

答：立柱AB的高度为(170+603)cm．

【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题、平行投影的应用，解题的关键是数形结合，正确作出辅助线，利用锐角三角函数和成比例线段计算．

3．（2022·江苏盐城·统考中考真题）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人