（江苏专用）中考数学二轮复习大题练习专题21以三角形为载体的几何压轴问题（必威体育精装版模拟30题）（解析版）.doc

专题21以三角形为载体的几何压轴问题（必威体育精装版模拟30题）

一、解答题

1．（2023春·江苏镇江·九年级统考阶段练习）

(1)[基础巩固]如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB=90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为______；

(2)[思维提高]如图②，在三角形纸片ABC中，AC=BC=6，AB=10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求AMBM

(3)[拓展延伸]如图③，在三角形纸片ABC中，AB=9，BC=6，∠ACB=2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边AC上的点B处，折痕为CM．求线段AC

【答案】(1)AM＝BM

(2)16

(3)AC=

【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理解决问题即可；

（2）利用相似三角形的性质求出BM，AM即可；

（3）证明△BCM∽△BAC，推出BCAB

【详解】（1）解：如图①中，

∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，

∴MN垂直平分线段BC，

∴CN＝BN，

∵∠MNB＝∠ACB＝90°，

∴MN∥AC，

∵CN＝BN，

∴AM＝BM．

故答案为AM＝BM．

（2）如图②中，

∵CA＝CB＝6，

∴∠A＝∠B，

由题意MN垂直平分线段BC，

∴BM＝CM，

∴∠B＝∠MCB，

∴∠BCM＝∠A，

∵∠B＝∠B，

∴△BCM∽△BAC，

∴BCBA

∴610

∴BM=18

∴AM=AB?BM=10?18

∴AMBM

（3）如图③中，

由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠ACM，

∵∠ACB＝2∠A，

∴∠BCM＝∠A，

∵∠B＝∠B，

∴△BCM∽△BAC，

∴BC

∴69

∴BM＝4，

∴AM＝CM＝5，

∴69

∴AC=15

【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．

2．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市振华中学校校考阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP

（1）如图1，求证：AM=CE；

（2）如图2，以AM,BM为邻边作?AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求GEAN

（3）如图3，若M是AC的中点，以AB,BM为邻边作?AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现NCBC=1

【答案】（1）见解析；（2）GEAN=2

【分析】（1）通过证△ABM与△CAE

（2）过点E作EF⊥CE交BC于F，通过证明△ABG与△ACE

（3）延长GM交BC于点F，连接AF，在Rt△AFC中，由勾股定理求出AN的长，在

【详解】（1）证明

∵AP⊥BM,

∴∠ABP+∠BAP=

∵∠BAP+∠CAE=

∴∠CAE=∠ABP??????????????????????????

∵CE⊥AC,

∵AB=AC，∴△ABM≌△CAE(ASA)

∴CE=AM???????????????????????????????

（2）过点E作CE的垂线交BC于点F

∴∠FEC=

∵AB=AC,

∴∠ACB=∠ABC=45

∵∠ACE=

∴∠CFE=∠FCE=

∴CE=EF,∠EFN=135

∴四边形AMBG是平行四边形

∴AM=BG,

∴∠GBN=∠ABG+∠ABC=

∴∠GBN=∠EFN??????????????????????????

由（1）得△ABM≌△CAE

∴AM=CE,

∵∠BNG=∠FNE

∴△GBN≌△EFN(AAS)

∴GN=EN?????????????????????????????

∵AG//BM

∴∠GAE=∠BPE=90

∴GEAN

（3）如图，延长GM交BC于F，连接AF

在?ABMG中，AB//GM，△ABM

∴∠AMG=∠BAC=90°，

∴∠GMC=∠ACE=90°，

∴GF//

∵AM=MC，

∴BF=CF，

∵AB=AC，

∴AF⊥BC,AF=1

∵CN

∴在R

在Rt△ABM中，AB=22

∴BM=A

∴AG=BM=210

由（1）知△ABM≌△CAE，

∴△

∴AE=AG，

在Rt△AEG中，EG=A

∴GE

【点评】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，寻找全等三角形解决问题，属于压轴题．

3．（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP＝AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点，HQ⊥AB于Q，