2024年广东江门广雅中学自主招生数学试卷真题（解析版） .pdf

2024年广东省江门市广雅自主招生数学试卷

（时间：90分钟，满分：120分）

一、填空题（第1、2、3题题6分；第4、5、6题题8分，共42分）

1.意大利数学家列昂纳多•斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波

那契数列被誉为是最美的数列.若一小格子的边长为1,求下图中从两个以1为半径的圆

弧到以8为半径的圆弧组成的螺旋线的总长度.

2.在Rt△能C中，两直角边分别是3和4,求三角形内切圆和外切圆面积之比为.

3.小明说：“我年龄肯定最小”；小红说：“我不是年龄最小的那个人”；小张说：“我年龄不

是最小，但也不是最大的”；小李说：“只有我是年龄最大的”.若四人的年龄各不相同，但

仅有一人说错，则四人中年龄最大的是

11

4，化简】6+4很皿

5在.三角形如。中，七=30。，刀「平分ZBAC交线段灰?于点。，=2右，AC=3+g，

DC_

茹一•

2

6.已知工4_4工3+7、2_8、+4=0,则x+—的值为

x

二、解答题（第7题12分；8、9题题13分；第10、11题题20分，共78

分）

7.解方程|x-l|+|x+2|=x+3

8.一位家住内蒙古呼伦贝尔大草原的同学，暑假回家帮助家人在空地上围城左边是半圆，

右边是矩形的羊圈（如图所示），在栅栏总长度为定长［的条件下，矩形的竖直方向宽设为x，

水平方向长为V,要使羊圈面积最大，应如何设计?

试卷第1页，共2页

9.如图，已知△如。为等边三角形，边长为2,以。为顶点，作等边△OCD,边长为1,使

△OCD绕。点在平面内旋转，连接AC.BD,求|』C|+||的最小值.

10.已知抛物线*=直线y^kx+1交抛物线于A,6两点，设，3少)，^(x2,J2).

(1)邑工2，*1*2是否为定值，如果是定值则求出该值;

(2)设直线与〉轴交于尸点，求抛物线上的任意一点尸oJo)到点B的最小距离；

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(3)j^|+j^|是否为定值’如果是定值则求出该值；

(4)证明以线段45为直径的圆与直线＞=-1相切.

11.如图，已知正方形N4CD,经过旋转形成正方形E/H,两正方形交点形成八条线段知

b,c,d,e,f,g,h,求证a+c2+e2+g2=b2+d2+f2+h2.

试卷第2页，共2页

1.10兀

【分析】本题考查了求弧长，根据弧长公式进行计算即可求解.

【详解】解：依题意，两个以1为半径的圆弧到以8为半径的圆弧组成的螺旋线的总长度为:

—x2tix1+—x2冗x2+—x2丸x3Jx2tix5日x2ti俱

24444

35/

=兀+兀+—兀+―兀+4兀

22

=1071

故答案为：1071.

2.A

25

【分析】本题主要考查三角形的性质和圆的基本性质，根据题意求得斜边长为5,结合等面

积法求得三角形内切圆半径，利用直角三角形的性质求得外切圆半径，结合面积公式即可求

得其比值.

【详解】解：如图

设,8=3,=4，贝BC=』，B2+AC2,5，

那么，=|^x^c=|x3x4=6，

设三角形内切圆为尸，则S^ABC=^ABxr+^xACxr+^xBCxr,解得,=1,

三角形外切圆半径为普=；，

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则三角形内切圆面积：TX12=冗，

三角形外切圆面积几］：［=?几，

4_4

那么，三角形内切圆和外切圆面积之比