（人教版）数学八年级下册同步提升练习专题18.3 （特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题 专题讲练（原卷版）.doc

专题18.3（特殊）的平行四边形中的最值与综合压轴问题专题讲练

1、以特殊平行四边形为背景的最值问题

解题技巧：几何背景下的最值是考生感觉较难的，往往没有思路。常见的有：(1)几何图形中在特殊位置下的最值；(2)比较难的线段的最值问题，其依据：①两点之间，线段最短；②垂线段最短，涉及的基本方法还有：利用轴对称变换、旋转变换化归到“三角形的三边关系”等。

常见最值模型：（1）将军饮马；（2）瓜豆原理（动态轨迹问题）；（3）胡不归；（4）费马点问题。

注意：正方形和菱形、矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，常运用其轴对称性解决最小值问题。

1）矩形中的最值问题

例1．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点为矩形的对角线上一动点，点为的中点，连接，，若，，则的最小值为________．

变式1．（2022?泗阳县校级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是AB上动点，PQ平行于BC交CD于Q．M是AD上动点，MN平行于AB交BC于N．则PM+NQ的最小值为．

例2．（2022·安徽合肥·二模）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA上的动点(不与端点重合)，若四点运动过程中满足AE=CG、BF=DH，且AB=10、BC=5，则四边形EFGH周长的最小值等于（??????）

A．10 B．10 C．5 D．5

变式2．（2022·四川内江·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是_____．

例3．（2022·湖北青山·九年级期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝7，BC＝7，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，将线段AP绕着点A逆时针旋转60°得到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为___．

变式3．（2022·陕西·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点E为AB上一点，连接DE，将△ADE沿DE折叠，点A落在处，连接，若F，G分别为，BC的中点，则FG的最小值为

A．2 B． C． D．1

例4．如图，长方形，长，宽，点P是边上的一个动点，连结、，则的面积为________，的最小值是__________．的最小值是______________．

变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，矩形ABCD中AB＝3，BC，E为线段AB上一动点，连接CE，则AE＋CE的最小值为___．

例5．（2022.绵阳市初二月考）如图，点P是矩形ABCD对角线BD上的一个动点，已知AB＝2，BC=3，则PA+PB+PC的最小值是

变式5．（2022·全国·九年级专题练习）如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为______．

2）菱形中的最值问题

例1．（2022·四川广安·中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，点P是对角线AC上的一个动点，点E、F分别为边AD、DC的中点，则PE+PF的最小值是（）

A．2 B． C．1.5 D．

变式1．（2022?西城区校级期中）如图，菱形ABCD的对角线AC＝12，面积为24，△ABE是等边三角形，若点P在对角线AC上移动，则PD+PE的最小值为（）

A．4 B．42 C．210 D．6

例2．（2022?蓝田县一模）如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD＝60°，点E、F在对角线AC上（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF最小值为

变式2．（2022·四川成都·中考真题）如图，在菱形中，过点作交对角线于点，连接，点是线段上一动点，作关于直线的对称点，点是上一动点，连接，．若，，则的最大值为_________．

例3．（2022?武昌区期中）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝BC，BC＝10，∠BCD＝60°，两顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动，连接OA，则OA的长的最小值是．

变式3．（2022·绵阳市·八年级期中）如图，菱形中，，，点在边上，且，动点在边上，连接，将线段绕点顺时针旋转至线段，连接，则线段长的最小值为__．

例4．（2021·山东临沂·二模）如图，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．

(1)求证：△EBN≌△ABM；(2)当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小？请说明理由．

变式4．（2022·全国·九年级专题练习）如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时