高二数学练习题及答案 (10).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝axex，a∈R．

（1）若函数h（x）＝x﹣x﹣2f（x），求函数h（x）的单调区间；2

（2）若对任意的x∈[0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）由题意得h（x）＝x﹣x﹣2f（x）＝x﹣x﹣2ln（x+1），22

函数的定义域是（﹣1，+∞），

2(2+3)(−1)

故h′（x）＝2x﹣1−=，

+1+1

3

令h′（x）＝0，解得：x＝1或x=−（舍），

2

故当﹣1＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）递减，当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）递增，

故函数h（x）在（﹣1，1）递减，在（1，+∞）递增；

（2）对任意x∈[0，+∞），不等式f（x）≤g（x）恒成立

⇔对任意x∈[0，+∞），f（x）﹣g（x）≤0恒成立

⇔对任意x∈[0，+∞），ln（x+1）﹣axex≤0恒成立，

记F（x）＝ln（x+1）﹣axe（x≥0），x

2

11−(+1)

则F′（x）=−a（x+1）e=x，

+1+1

①当a≤0时，F′（x）＞0，故F（x）在[0，+∞）递增，

又F（0）＝0，故当x≥0时，F（x）≥0，不合题意；

②当a＞0时，

2x

（i）当a≥1时，∵x≥0，∴a（x+1）≥1，e

2

故F′（x）=1−(+1)≤0，故F（x）在[0，+∞）上递减，

+1

故当x≥0时，F（x）≤F（0）＝0，符合题意；

2x

（ii）当0＜a＜1时，记φ（x）＝1﹣a（x+1）（x≥0），e

则φ′（x）＝﹣a（x+1）（x+3）e，x

显然φ′（x）＜0，φ（x）在[0，+∞）单调递减，

√1−1）＝1−√1−1

又φ（0）＝1﹣a＞0，φ（＜0，

故存在唯一的x0∈（0，√1−1），使得φ（x0）＝0，

故当0≤x＜x0时，φ（x）＞φ（x）＝0，0

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2

1−(+1)

F′（x=+1＞0，F（x）在[0，x0）上单调递增，

故当0≤x＜x0时，F（x）≥F（0）＝0，不符合题意，

综上：a≥1，即实数a的取值范围是[1，+∞．

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