高二数学练习题及答案 (14).pdf

高二数学练习题

2

1．已知函数f（x）=−xlnx﹣（a﹣1）x+a．

2

（Ⅰ）若x，x是f（x）的两个极值点，求a的取值范围；

12

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若m＞f（x1）+f（x）恒成立，求实数m的取值范围．2

解：（Ⅰ）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝x﹣lnx﹣a，

1−1

设g（x）＝f′（x），则g′（x）＝1−=，

当0＜x＜1时，g′（x）＜0，函数f′（x）单调递减，

当x＞1时，g′（x）＞0，函数f′（x）单调递增，

故f′（x）的单调递减区间是（0，1），单调递增区间是（1，+∞），

∵x，x是f（x）的两个极值点，

12

即x，x是f′（x）的两个不同的零点，

12

故f′（1）＜0，即1﹣a＜0，解得：a＞1，

∵f′（2a）＝2a﹣ln2a﹣a＝a﹣ln2a＝a﹣lna﹣ln2＞a﹣lna﹣1＞0，

故存在x2∈（1，2a）使得f′（x）＝0，2

﹣a﹣a﹣a﹣a

又∵f′（e）＝e﹣lne﹣a＝e＞0，

故存在x1∈（e﹣a，1），使得f′（x1）＝0，

故当x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

当x∈（x，x）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，

12

当x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，

故当a＞1时，x1是f（x）的极大值点，x是f（x）的极小值点；2

（Ⅱ）不妨设0＜x1＜1，x＞1，2

由f（x2）为极小值，2﹣x＞1得f（x）≤f（2﹣x），121

故f（x1）+f（x）≤f（x）+f（2﹣x），211

令u（x）＝f（x）+f（2﹣x），（0＜x＜1），

则u′（x）＝f′（x）﹣f′（2﹣x），

令φ（x）＝x﹣lnx﹣a﹣（2﹣x）+ln（2﹣x）+a＝2x﹣2﹣lnx+ln（2﹣x），（0＜x＜1），

22

114−2+−2−−2(−1)

φ′（x）＝2−−==＜0，

2−(2−)(2−)

故函数φ（x）在（0，1）上单调递减，

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故φ（x）＞φ（1）＝0，故u′（x）＞0，

故函数u（x）在（0，1）上单调递增，

故u（x）＜u（1）＝f（1）+f（1）＝3，

故f（x1）+f（x）＜3，故m≥3．2

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