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高二数学练习题

ax

1．已知函数f（x）＝ecosx+a．

（Ⅰ）当a＝1时，讨论函数f（x）的单调性；

（Ⅱ）设a≥1，若∀x∈[0，]，恒有a（f（x）﹣a）≤bx+f′（x）成立，求b的取值范

2

axax

围（注：（e）′＝ae）．

解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝excosx+1，

(−)=2(+)，

得f′（x）=√

4

31

＜＜

令f′（x）＞0，得−+2x+2，k∈Z；

44

15

＜＜

令f′（x）＜0，得+2x+2，k∈Z．

44

31

，

∴函数f（x）在[−+2+2]，k∈Z上单调递增；

44

15

，

在[+2+2]，k∈Z上单调递减．

44

（Ⅱ）设函数g（x）＝a（f（x）﹣a）﹣f′（x）﹣bx＝eaxsinx﹣bx，x∈[0，]，

2

ax

则g′（x）＝e（asinx+cosx）﹣b，

ax

设h（x）＝e（asinx+cosx）﹣b，

则h′（x）＝eax[（a2﹣1）sinx+2acosx]≥0，

∴函数h（x）单调递增，

即g′（x）在[0，]上单调递增，

2

∴g′（x）∈[1﹣b，2−b]．

当b≤1时，g′（x）≥0，函数g（x）在[0，]上单调递增，

2

则g（x）≥g（0）＝0，不符合题意；

]上单调递减，

当b≥时，g′（x）≤0，函数g（x）在[0，

2

2

g（x）≤g（0）＝0，符合题意；

＜

当1＜b时，

2

由于g′（x）是一个单调递增的函数，