高二数学练习题及答案 (2).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）＝4x2﹣alnx﹣a（a∈R）．

（1）求f（x）的单调区间；

（2）已知不等式f（x）≥（2﹣a）lnx﹣ax+4x对任意的x∈（0，1]恒成立，求证：当a2

取最大值时，f（x）≥2ln2﹣1．

解：（1）由题意得f（x）的定义域是（0，+∞），

2

8−

f′（x）＝8x−=，

若a≤0，则f′（x）＞0恒成立，故f（x）在（0，+∞）上单调递增，

若a＞0，令f′（x）＞0，解得：x＞√2，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜√2，

44

√2√2

故f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，

44

综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，

√2√2

a＞0时，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增；

44

（2）证明：∵不等式f（x）≥（2﹣a）lnx﹣ax+4x对任意x∈（0，1]恒成立，2

故a（x﹣1）﹣2lnx≥0对任意x∈（0，1]恒成立，

2−2

令h（x）＝a（x﹣1）﹣2lnx，x∈（0，1]，则h′（x）＝a−=，

①若a≤0，则h′（x）＜0恒成立，故h（x）在（0，1]递减，故h（x）min＝h（1）＝

0，

②当0＜a≤2时，h′（x）≤0，故h（x）在（0，1]递减，h（x）min＝h（1）＝0，

22

③a＞2时，0＜＜＜

1，令h′（x）＞0，解得：x≤1，

222

＜＝h（

令h′（x）＜0，解得：0＜x，故h（x）min）＝2﹣a﹣2ln，

2

令u（x）＝2﹣x﹣2ln=2﹣x﹣2ln2+2lnx（x＞2），

2

则u′（x）＝﹣1+，由x＞2，解得：u′（x）＜0，

故u（x）在（2，+∞）递减，故u（x）＜0在（2，+∞）上恒成立，

2

＜

故a＞2时，h（x）在（0，1]上的最小值是2﹣a﹣2ln0，

故a＞2不合题意，

综上：a≤2时，a的最大值是2，

第1