高二数学练习题及答案 (23).pdf

高二数学练习题

22

√3√3

1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），离心率e=，且过点（1，）．

222

2

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）若直线x＝1上有一点P，且与x轴交于Q点，过Q的直线l交椭圆于A，B两点，

交直线x＝3于C点，是否存在实数λ使得k+k＝λk恒成立？若存在，求出λ；若

PAPBPC

不存在，说明理由．

=√31+3=1，又b222

解：（Ⅰ）由题意可得e=，且＝a﹣c，

222

4

解得：a＝4，b＝1，22

2

所以椭圆的方程为：+y2＝1；

4

（Ⅱ）当直线l的斜率为0时，根据椭圆的对称性，设A（﹣2，0），B（2，0），C（3，

0），

2−

设点P（1，t），k+k=+（﹣t）=−t，k=，

PAPB33PC2

44

又因为k+k=k，所以λ=；

PAPB3PC3

当直线l的斜率不为0时，设A（x，y），B（x，y），P（1，t），

1122

直线l的方程为：x＝my+1，

=+1

22+2my﹣3＝0，

联立直线l与椭圆的方程：{22，整理可得：（4+m）y

+=1

4

23−−

则y+y=−，yy=−，故k+k=1+2

124+2124+2PAPB1−1−

12

(−)(1−)+(−)(1−)

=1221

(1−)(1−)

12

(−)(−)+(−)(−)

=1221

2

12

−⋅−2+2⋅−3

=4+24+2

−3

⋅

4+2

2−6

=

−3，

22−−2

易知点C（3，），则kPC=2=−2，