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高二数学练习题
1．已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
223
（Ⅱ）当a＞0时，求函数g（x）＝2af（x﹣1）﹣x+2a（x﹣1）在（1，e）内的零点
个数．
1
解：（Ⅰ）由题可知函数的定义域为（﹣1，+∞），f′（x）=−a，
+1
所以当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，函数f（x）在（﹣1，+∞）上单调递增；
11
当a＞0时，令f′（x）＞0得x＜−1，函数f（x）在（﹣1，−1）上单调递增；
11
令f′（x）＜0得x＞−1，函数f（x）在（−1，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）由题意得g（x）＝2a2lnx﹣x2，
则g′（x）=22−2x=2(+)(−)（x＞0，a＞0），
所以当0＜x＜a时，g′（x）＞0；
当x＞a时，g′（x）＜0，
所以g（x）在（0，a）上单调递增，在（a，+∞）上单调递减，
＝g（a）＝2alna﹣a222
所以g（x）max＝a（2lna﹣1），
＜
①当0＜a时，g（x）≤g（x）＜0，函数g（x）在（1，e）内无零点；
√
max
②当a=时，函数在（0，+∞）内有唯一零点，而∈（1，e），
√√√
所以函数g（x）在（1，e）内有1个零点；
＞222
③当a时，g（1）＜0，g（a）＝a
√（2lna﹣1）＞0，g（e）＝2a﹣e，
√2
若g（e）≥0，即a≥2e，g（x）在（1，e）内只有1个零点；
√2
＜＜e，函数g（x）在（1，e）内有2个零点．
若g（e）＜0，即a
√
2
＜
综上所述，当0＜a时，函数g（x）在（1，e）内无零点；
√
√2
＜＜e时，函数g（x）在（1，e）内有2个零点；
当a
√
2
√2
当a≥e或a=时，g（x）在（1，e）内只有1个零点．
√
2
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