高二数学练习题及答案 (34).pdf

高二数学练习题

1．已知函数f（x）=（a＞0）．

+

−1

（1）当a＝1时，证明：f（x）≤2；

（2）判断f（x）在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），

证明：当a＝1时，f（x）=+1，

−1

欲证f（x）≤2，

−1

即证≤，

+12

即证2lnx﹣x2+1≤0．

令h（x）＝2lnx﹣x2+1，

则h′（x）=2−2x=−2(−1)(+1)，

当x变化时，h（x），h（x）变化情况如下表：

x（0，1）1（1，+∞）

h（x）+0﹣

h（x）↗极大值↘

所以函数h（x）的最大值为h（1）＝0，故h（x）≤0．

−1

所以f（x）≤2；

（2）函数f（x）在定义域内不是单调函数．理由如下：

令g（x）＝﹣lnx++1，

1+

因为g′（x）=−−=−＜0，

22

所以g（x）在（0，+∞）上单调递减．

注意到g（1）＝a+1＞0．

1

a+1a+1++1＝a（−1）＜0，

且g（e）＝﹣lne

+1+1

a+1

所以存m∈（1，e），使得g（m）＝0，

当x∈（0，m）时，g（x）＞0，从而f（x）＞0，

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所以函数f（x）在（0，m）上单调递增；

当x∈（m，+∞）时，g（x）＜0，从而f（x）＜0，

所以函数f（x）在（m，+∞）上单调递减；

故函数f（x）在定义域内不是单调函数．

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