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高二数学练习题
22√7
1．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短半轴长为3．
22
4
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（x，y）（xy≠0）为椭圆C上一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为点E．取
0000
点A（0，4），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D．点G是点D关于y轴的对
称点，连接QG，试判断直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由．
√7
解：（Ⅰ）因为椭圆的离心率为=，
4
2222
+c
由b＝3，且a＝b，所以解得a＝16，
22
故椭圆C的方程为+=1；
169
（Ⅱ）由题意，点A（0，4），设点E（x，0），D（x，0），
0D
→→
则=(，−4)，=(，−4)，
0
→→
由AD⊥AE，则⋅=+16=0，
0
16
由于xx≠0，故x=−，
0D
0
16
，
因为点G是点D关于y轴对称的点，所以G（0），
0
故直线QG的斜率为k=0=00，
−162−16
00
0
又因为点Q（x，y）在椭圆上，
00
22
00
所以+=1，…①
169
9916
所以k=−0，故直线QG的方程为y=−0(−)，…②
1616
000
2222
将②代入椭圆C的方程得：（9x+16）x−288+256(9−)=0⋯③，
0000
22
再将①代入③，化简可得x−2+=0，
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