高二数学练习题及答案 (43).pdf

高二数学练习题

22

1

1．已知椭C：+=1（a＞b＞0）的上焦点为F，离心率为，过原点O的直线l1

22

2

与椭圆交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝4．

（1）求椭C的标准方程；

（2）设椭C的长轴的上、下顶点分别为M，N，点P（m，1）为不在椭C上的一点，

且直线PM，PN与椭C的另一个交点分别为G，H．若R（0，4），求证：H，G，R

三点共线．

解：（1）设椭圆的下焦点为M，由椭圆的对称性可知A，B两点关于原点对称，

则|OA|＝|OB|，又|OF|＝|OM|，所以四边形AFBM为平行四边形，

则|AF|＝|BM|，由椭圆的定义可得：

|AF|+|FB|＝|BF|+|BM|＝2a＝4，所以a＝2，

1

又椭圆的离心率为e==，所以c＝1，

2

222

则b＝a﹣c＝3，

22

故椭C的标准方程为+=1；

43

（2）证明：由已知易得：M（0，2），N（0，﹣2），

当点P的坐标为（0，1）时，显然H，G，R三点共线，

当点P的坐标不为（0，1）时，m≠0，

易得直线PM的方程为x＝﹣m（y﹣2），代入椭圆方程可得：

222y+16m2

（3+4m）y﹣16m﹣12＝0，

22

16−128−6

设G（x，y），则2y=，故y=，

GGG3+423+42

12

则x＝﹣m（y﹣2）=，

GG3+42

直线PN的方程为x=(+2)，代入椭圆方程可得：

3

22+16my+16m22

（27+4m）y﹣108＝0，

22

16−10854−8

设H（x，y），则﹣2y=，故y=，

HH27+4227+42

36

则x=(+2)=，

327+42

−4222

则直线RG的斜率k==8−6−4(3+4)=−4+9，

126

第1页共2页

−42