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高二数学练习题
1．设函数f（x）＝（1﹣ax）ln（x+1）﹣bx，其中a是实数．
（Ⅰ）若b＝1，证明：曲线y＝f（x）恒与x轴相切于坐标原点；
（Ⅱ）当a＝﹣1时，讨论函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；
34(+1)
（Ⅲ）证明：ln2+++⋯⋯+＞．
492+1
1−
（Ⅰ）证明：f′（x）＝﹣aln（x+1）+−b，
+1
当b＝1时，f′（0）＝0，f（0）＝0，
故曲线y＝f（x）恒与x轴相切于坐标原点；
（Ⅱ）解：当a＝﹣1时，f（x）＝（1+x）ln（x+1）﹣bx（x＞0），
b1
f′（x）＝ln（x+1）+1﹣b，令f′（x）＝0，解得：x＝e﹣﹣1，
当b≤1时，当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，
b1b1
﹣﹣
当b＞1时，当x∈（0，e﹣1）时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，e﹣1）上单调递
减，
b1b1
﹣﹣
当x∈（e﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（e﹣1，+∞）上单调递增；
综上：当b≤1时，f（x）在（0，+∞）递增，
b1b1
﹣﹣
当b＞1时，f（x）在（0，e﹣1）上单调递减，在（e﹣1，+∞）上单调递增；
（Ⅲ）证明：取a＝﹣1，b＝1，
由（Ⅱ）知f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）＞0，
故当n∈N+时，f（n）＞0，即（1+n）ln（1+n）﹣n＞0，
(1+)1
故＞，
2(+1)
34(+1)1111111
故ln2+++⋯+＞++⋯+=1−+−+⋯+−
4921×22×3(+1)223
1
=
+1+1，
34(+1)
故ln2+++⋯⋯+＞．
492+1
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