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甘肃省武威市凉州区2024-2025学年高二数学下学期期中质量检测试题理

试卷分值：150分考试时间：120分钟

留意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）

1．设i为虚数单位，复数z满意，则复数z的共轭复数等于（???????）

A． B． C． D．

2．视察下列各式：，，，，则末位数字为（???????）

A．1 B．3 C．7 D．9

3．已知直线a∥平面α，直线b?平面α，则（）

A．a∥b B．a与b异面

C．a与b相交 D．a与b无公共点

4．曲线在处的切线的斜率为（???????）

A．B．C．D．

5．若，则等于（???????）

A．-3 B．3 C．-6 D．6

6．设m?n是两条不同的直线，?是两个不同的平面，则下列命题正确的是（???????）

A．若，，则 B．若，则

C．若，，则 D．若，，则

7．用数学归纳法证明，在验证成立时，左边所得的代数式是（???????）

A．1 B． C． D．

8．已知复数，则z在复平面内对应的点位于（???????）

A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限

9．已知，若，则x=（???????）

A．-1 B．1 C．0 D．2

10．已知函数的图象如图所示，则下列选项正确的是（???????）

A．

B．

C．

D．

11．正三棱柱各棱长均为为棱的中点，则点到平面的距离为（???????）

A． B． C． D．1

12．函数的图象如图所示，则不等式的解集（?????）

A． B．

C． D．

第II卷（非选择题）

二、填空题（本题共4小题，每题5分，共计20分）

13．已知，则的虚部为______．

14．用反正法证明：“若，则或”时，需假设_________.

15．在正方体中，异面直线与AB所成角的度数为______．

16．已知函数，x∈[0，π]，则f（x）的最小值为______.

三、解答题（本题共6小题，共计70分）

17．（10分）用数学归纳法证明：假如是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立．

18．（12分）如图，在长方体中，E为AB的中点，F为的中点．证明：//平面．

19．（12分）如图，棱锥的底面是矩形，平面，．

(1)求证：平面；

(2)求平面和平面夹角的余弦值的大小．

20．（12分）已知函数．

(1)写出函数的单调区间；

(2)探讨函数的极大值和微小值是否存在．假如存在，求出极值．

21．（12分）设函数．

(1)求f（x）在处的切线方程；

(2)求f（x）在[－2，4]上的最大值和最小值．

22．（12分）已知函数，函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，若与的图象在区间上有两个不同的交点，求k的取值范围

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参考答案

1．A2．D3．D4．D5．D6．C7．C8．D9．A10．C11．C12．A

13．114．且15．90°16．1

17．【详解】

（1）当时，左边，右边，①式成立．

（2）假设当时，①式成立，即，

依据等差数列的定义，有，

于是，

即当时，①式也成立，由（1）（2）可知，①式对任何都成立．

18．证明：取的中点G，连接GF，AG，

因为G为的中点，F为的中点，所以且CD＝2GF，

又E为AB的中点，AB＝CD，，所以且AE＝GF，

所以四边形AEFG为平行四边形，所以//，

因为平面，EF平面，

所以//平面．

19．【解析】(1)因为平面，BD平面，所以PA⊥BD，因为，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.

(2)因为PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因为PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因为CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夹角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD与平面ABCD的夹角余弦值为.

20．【解析】

(1)．

令，得或．

则当时，，单调递增；

则当时，，单调递减；

则当时，，单调递增．

故函数的增区间为和，减区间为．

(2)由（1）知，当时，有微小值；

当时，有极大值．

21．【解析】

(1)由题意知，，即切