高中数学教案-必修1-第十一讲：函数模型及其应用.docVIP

博途教育学科教师辅导讲义(一〕

学员姓名:年级：高一日期：

辅导科目：数学学科教师：刘云丰时间：

课题

第十一讲：函数模型及其应用

授课日期

教学目标

1、培养学生根据实际问题进行信息综合列出函数解析式；

2、会利用函数图象性质对函数解析式进行处理得出数学结论.

教学内容

函数模型及其应用

〖教学重点与难点〗

◆教学重点：根据实际问题分析建立数学模型和根据实际问题拟合判断数学模型；

◆教学难点：根据数学模型解决实际问题。

〖教学过程〗

一、创设情境，导入课题

在课本第三章的章头图中，有一大群喝水、嬉戏的兔子，但是这群兔子曾使澳大利亚伤透了脑筋.1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量到达75亿只.

可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口.这使澳大利亚人头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.

这段话道出了其中的意蕴：对于一个种群的数量，如果在理想状态(如没有天敌、食物充足等)下，那么它将呈指数增长；但在自然状态下，种群数量一般符合对数增长模型.

提出问题，探索新知

①我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和效劳都很好，但收费方式不同.甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内(含30小时)每张球台90元，超过30小时的局部每张球台每小时2元.小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时.

设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f(x)元(15≤x≤40)，在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g(x)元(15≤x≤40)，试求f(x)和g(x).

②A、B两城相距100km，在两地之间距A城xkm处D地建一核电站给A、B两城供电，为保证城市平安.核电站距城市距离不得少于10km.供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ=0.25.假设A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月.

把月供电总费用y表示成x的函数，并求定义域.

③分析以上实例属于那种函数模型.

讨论结果：①f(x)=5x(15≤x≤40).

g(x)=

②y=5x2+(100—x)2(10≤x≤90)；

③分别属于一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型.

三、应用例如

例1一辆汽车在某段路程中的行驶速率与时间的关系如下图.

(1)求图3-2-2-1中阴影局部的面积，并说明所求面积的实际含义；

(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km,试建立行驶这段路程时汽车里程表读数skm与时间th的函数解析式，并作出相应的图象.

图3-2-2-1

活动：学生先思考或讨论，再答复.教师根据实际，可以提示引导：

图中横轴表示时间，纵轴表示速度，面积为路程；由于每个时间段速度不断变化，汽车里程表读数skm与时间th的函数为分段函数.

解：(1)阴影局部的面积为50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.

阴影局部的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km.

(2)根据图，有s=

这个函数的图象如图3-2-2-2所示.

图3-2-2-2

变式训练

电信局为了满足客户不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案应付话费(元)与通话时间(分钟)之间关系如以下图(图3-2-2-3)所示(其中MN∥CD).

(1)分别求出方案A、B应付话费(元)与通话时间x(分钟)的函数表达式f(x)和g(x)；

(2)假设你是一位电信局推销人员，你是如何帮助客户选择A、B两种优惠方案？并说明理由.

图3-2-2-3

解：(1)先列出两种优惠方案所对应的函数解析式：

f(x)=g(x)=

(2)当f(x)=g(x)时,x-10=50,

∴x=200.∴当客户通话时间为200分钟时，两种方案均可;

当客户通话时间为0≤x＜200分钟，g(x)f(x),应选择方案A；

当客户通话时间为x200分钟时，g(x)f(x),应选方案B.

点评：在解决实际问题过程中，函数图象能够发挥很好的作用，因此，我们应当注意提高读图的能力.另外，本例题用到了分段函数，分段函数是刻画现实问题的重要模型.

例2人口问题是当今世界各国普遍关注的问题.认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国