19.3　正方形 学案（含答案） 2025年数学华东师大版八年级下册.docxVIP

2025年

第19章矩形、菱形与正方形

19.3正方形

1.正方形的性质

性质：(1)正方形的都相等；

(2)正方形的都是直角；

(3)正方形的对角线.

注意：正方形是中心对称图形，对称中心是，也是轴对称图形，它有条对称轴.

2.正方形的判定方法

定理1：有一个角是的菱形是正方形.

定理2：有一组邻边的矩形是正方形.

类型之一正方形的性质

如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，连结BE、CE.

(1)求证：△BAE≌△CDE；

(2)求∠AEB的度数.

类型之二正方形的判定

[2022·邵阳]如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF，OE＝OA.求证：四边形AECF是正方形.

类型之三正方形的性质与判定的综合运用

如图，E、F、M、N分别是正方形ABCD四条边上的点，AE＝BF＝CM＝DN，四边形EFMN是什么图形？证明你的结论.

1.在四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点.下列条件能判定这个四边形为正方形的是 ()

A.AD∥BC，∠B＝∠D

B.AC＝BD，AB＝CD，AD＝BC

C.OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC

D.OA＝OB＝OC＝OD，AC⊥BD

2.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC至点E，使CE＝CA，连结AE交CD于点F，则∠AFC的度数是 ()

第2题图

A.150° B.125°

C.135° D.112.5°

3.[2023春·北京期中]如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上的一点，且BE＝AB，连结CE、AE，则∠AEC的度数为.

第3题图

1.[2024·连云港]如图，正方形中有一个由若干个矩形组成的对称图案，其中正方形边长是80cm，则图中阴影图形的周长是 ()

第1题图

A.440cm B.320cm

C.280cm D.160cm

2.[2024·新疆]如图，在正方形ABCD中，若面积S矩形AEOH＝12，周长C矩形OFCG＝16，则S正方形EBFO＋S正方形HOGD＝.

第2题图

3.[2022·恩施州]如图，已知四边形ABCD是正方形，G为线段AD上任意一点，CE⊥BG于点E，DF⊥CE于点F.求证：DF＝BE＋EF.

4.如图，E是正方形ABCD对角线BD上一点，连结AE、CE，并延长CE交AD于点F.

(1)求证：△ABE≌△CBE；

(2)若∠AEC＝140°，求∠DFE的度数.

5.如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE，垂足为G.

(1)求证：AF＝BE.

(2)如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？请说明理由.

6.如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB＝32，E为OC上一点，OE＝1，连结BE，过点A作AF⊥BE于点F，与BD交于点G.

(1)BE与AG相等吗？若相等，请证明；若不相等，请说明理由.

(2)求AF的长.

7.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，O为AB的中点，过点A作直线AE交DO的延长线于点E，使∠EAB＝∠C，连结BE.

(1)求证：BC∥AE.

(2)求证：四边形AEBD是矩形.

(3)当△ABC满足什么条件时，四边形AEBD是正方形？请说明理由.

8.(推理能力)[2024春·仁寿县校级月考]如图，在正方形ABCD中，CF平分正方形的外角，点E在BC上.

(1)若AE＝EF，求证：AE⊥EF；

(2)若AE⊥EF，求证：AE＝EF.

参考答案

【预习导航】

1.(1)四条边(2)四个角(3)相等且互相垂直平分两条对角线的交点4

2.直角相等

【归类探究】

【例1】(1)略(2)∠AEB＝15°

【例2】略

【例3】四边形EFMN是正方形.证明略.

【当堂测评】

1.D2.D3.135°

【分层训练】

1.A2.403.略

4.(1)略(2)∠DFE＝65°

5.(1)略(2)MP＝NQ.理由略.

6.(1)BE＝AG.证明略.(2)AF＝6

7.(1)略(2)略

(3)当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形AEBD是正方形.理由略.

8.略

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